Einführung in die Meteorologie - Teil II

Einführung
in die Meteorologie
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre Clemens Simmer
Meteorologisches Institut
Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn
Sommersemester 2005
Wintersemester 2005/2006
IV Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
IV.1 Kinematik
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse
und Struktur von Windfeldern
– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung
– ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren
durch
– Divergenz
– Rotation
– Deformation
IV.1 Kinematik
•
•
•
•
•
Divergenz
Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung
Rotation und Zirkulation
Natürliches Koordinatensystem
Stromlinien und Trajektorien
IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz,
negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.
  
u v w
div v    v   i ui 


x y z
 

u v
div v H    v H 

x y
Bei Beschränkung auf die
horizontalen Windkomponenten
wird der Zusammenhang
zwischen Strömungsfeld und
Divergenz unmittelbar deutlich.
t=0
t=t1
x
<0
>0
<0
Beispiele zur Divergenz
1 ms 1 

   (1 ms 1 )  (1 ms 1 )  (1 ms 1 )
 
1
v  1 ms     v 


 0 s 1
x
y
z
1 ms 1 


 x ms 1 

  x y z
 
1
v   y ms     v     3 s 1
x y z
 z ms 1 


2x 

2x 

u
sin
 0


u
sin
 0

L 
 
 
2u0
2x
L


v 
0

cos
  v 
x
L
L


0




u0



 
 
2

x
  v  0
v   v0 sin
L 



0


L/4
L/2
L/2
L
Divergenz und Massenerhaltung (1)
Mi
M  Nettomasse nfluss aus dem Volumen
V fest, [M]  kg/s
m
( V )


 V
t
t
t
mit m Masse und  Dichte
M
V,m,ρ=m/V
Massenflus s durch eine beliebige Randfläche i
Mi  v Fi  Fi    0 wenn Fluss aus V heraus
kg/s m/s m² kg/m³
Ein Nettomassenfluss M durch die festen
Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit
Dichteänderung innerhalb des Volumens.
Divergenz und Massenerhaltung (2)
z
Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu
den Koordinatenachsen
Fx , Fx , Fy , Fy , Fz , Fz
Δz

r0
x
y
v F   u , v F   u
x
Δx
Δy
x
v F   v , v F    v
y
y
v F   w , v F    w
z
z
 M  M x  M x  M y  M y  M z  M z Nettomasse nfluss


 
 
Mx
My
Mz
Taylor - Entwicklun g
 
x
x



M x  M x  M x   u  x0 
, y0 , z0   u  x0 
, y0 , z0 yz
um zentralen Punkt
2
2



 

u
x0 , y0 , z0  x  u x0 , y0 , z0   u x0 , y0 , z0   x yz
  u  x0 , y0 , z0  
x
2
x
 2 


u
x0 , y0 , z0 xyz  u V
x
x
Divergenz und Massenerhaltung (3)
z
analog für die zwei anderen Richtungen,
also insgesamt:
Mx 

r0
Δz
x
y
Δx
Δy



   v 
t
u
v
w
V , My 
V , Mz 
V
x
y
z

M   V  M x  My  Mz
t
 u v w 
 V
 


y
z 
 x
  

 x   u 
 
 


 
  v  V  v V


y






    w 
 z 

Kontinuitätsgleichung
(Massenerhaltung)
Eulersche und Lagrangesche
Kontinuitätsgleichung
 
d   
  v  
Advektionsgleichung für ρ:
dt t
 

Eulersche Kont‘gleichung:
   v 
t

 



d

Umrechnung:
  v       v 
t dt
   
d
   v   v   
dt
   
 
  v       v  v   

 
 
 
Produktregel
Lagrangesche Kont‘gleichung
 
d
    v
dt
 
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder zusammenpressen noch auseinander ziehen. Dabei kann es durchaus seine
Form verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche
Dichte)
• Wasser ist mit guter Näherung inkompressibel.
• Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als
inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.
 keine Ausdehnung beim Aufsteigen
 Unendliche Schallgeschwindigkeit
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der
Beschreibung der Strömungsprozesse bei geringen
Vertikalauslenkungen, z.B. in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich:
 
d
 0  v  0
dt

 0 !!!
t
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit
•
Wenn wir annähernd Inkompressibilität annehmen können, dann folgt aus
dem Zusammenströmen von Luft z.B. in der Horizontalen (horizontale
Konvergenz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.
•
Geschieht die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch
Aufsteigen nach oben ausweichen.
 bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber.
 bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.
 
 u v 
u v w
w

 v  0 


0
  

x y z
z
 x y 
•
Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich
nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.
 1 h  u v  
 u v 
dz     
dz h
w (h )   dw    


x y 
x y  
0
0
0
h


h
h
höhen - gemittelte
horizontal e Div ergenz
  h
w (h )   H  v H h
Kont‘gleichung im p-Koordinatensystem
Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung
annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck
p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen (Veränderlichkeit) hat das pKoordinatensystem aber den großen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung
besonders einfach aussieht.
Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr)
durch die Luftbewegung:
 p 

V  xyz  xy 
 g 
Für die Massenänderung gilt unmittelbar: dm
d
d  xyp 

 0  V    
dt
dt
dt 
g

0
dx yp dy xp dp xy


dt
g
dt
g
dt
g
/( xyp / g )
1 dx 1 dy 1 dp 1  dx  1  dy  1  dp 



  
  
 
x dt y dt p dt
x  dt  y  dt  p  dt 
u v 
dp
0


mit  
und schließlic h bei Grenzwertb ildung :
x y p
dt
Dann gilt der Zusammenhang von letzter Seite
u v   
 
  p  vp  0
formal ohne Annahme der Inkompressibilität!
x y p
0
Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und
Absteigen in Hochs
H
T
• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus
gerichtet
 Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken
• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet
 Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.
Konvergenz und Konfluenz
• Von Null verschiedene (3-dim) Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen
wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.
• Bei zweidimensionaler Divergenz (z.B. horizontale Divergenz) gilt der
Zusammenhang mit Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht
wissen, was vertikal passiert.
• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz)
bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungsrichtungen (unabhängig von der Strömungsgeschindigkeit).
• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder
divergent sein!
2D-Strömung mit Konfluenz
und Diffluenz, aber
verschwindender Divergenz
(angedeutet durch
gleichbleibendes Volumen)
Horizontale Divergenz und Drucktendenz
(∂p/∂t)

dp   gdz  p( z )  g  dz mit p()  0
z


 




p

w
 g
dz   g    v dz   g   H  v dz  g 
dz
t
t
z
z
z
z
z






p
  g   vH   H    H  vH dz  
gw




 


t
z
c)
a)
b)


Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:
a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber
b) horizontale Konvergenz in der Luft darüber
c) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z
Flächenmittel der horizontalen Divergenz
und der Integralsatz von Gauss
• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen
Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder
den Gitterpunkten des Modells.
• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld,
da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.
• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die
räumlich gemittlelte Divergenz eines Windfeldes.
• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale
Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen
Formulierung
F
y
 
D :  H  vH
ds
F
1

F
 
  H  vH dxdy
dxdy
 Satz von
vH Gauss
 1  
. 
1
n 
vn  n  vH  F  vH  n ds  F  v n ds
F
F
x
Bestimmung der mittleren Divergenz
bei kartesischen Gittern
Δx
y
Die seien Stationspositionen an denen der
Wind gemessen wird.
Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das
die Stationen verbindet.
d
a
Δy
F
b
c
x


  ua dy   vb dx   uc dy   vd dx 
b
c
d
 a

1

 ua y  vb x  uc y  vd x
xy
über a gemittelte
1
mit ua 
ua dy

u - Komponente
y a
1
D
F





1
1
D
u c  ua 
vd  vb
x
y

Übung zu IV.1.1
y
Δx=100 km
d
a 4 m/s, 120°
8 m/s
10 m/s
F
90°
90°
c
b 4 m/s, 60°
1. Bestimme die mittlere horizontale
Divergenz für nebenstehende
Beobachtungen
2. Wie ändern sich die Werte, wenn
wegen Messfehler tatsächlich an
Δy=50 km
der Westseite die Windstärke 1
m/s höher und an der Ostseite 1
m/s niedriger ist?
x
3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s.
Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und
2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?
4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es
herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in
mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser
sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die
Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).
IV.1.2 Rotation und Zirkulation
•
•
•
•
•
•
rot-Operator
absolute und relative Geschwindigkeit
Zirkulation als integrales Maß der Rotation
Vorticity
natürliches Koordinatensystem
Zusammenhänge zwischen
Vertikalgeschwindigkeit, Divergenz und
Vorticity
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor 
 
 
  v  rot v  



x

y

z

i
 u 
  
   v    ijk  j uk  x
 w 
u
  
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 y
und hängen u und v nur von x und y
ab (keine Änderung mit der Höhe),
dann gilt offensichtlich:
 v u 
  
  v  k   k   
 x y 
Da die Luftströmung i.w. horizontal
ist hat ς eine besondere Bedeutung
in der Meteorologie.
 w v 


 
k  y z     xi
 u w   



    eta
z

z x
w  v u     zeta


 x  y 



j

y
v
.
Offensichtlich ist die
Rotation aus der
Zeichenebene zum Beobachter gerichtet. Sie
wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein
x achsialer Vektor.
 v u    
      k    v
 x y 
Beispiele
 u0 y 

 
v  0 
 0 


 0 
   
v   0 
 -u 
 0
 y 
  
v   x
 0 
 
0
   
v   0 
 -2 
 
u0



 
2

x

v   v0 sin
L 


 

0

 
0

  

v 
0
 2v
2x 
0


cos
L 
 L
 w v 
 

 y z 
   u w 
v   
z x 
 v u 
 

 x y 
L/4
L/2
Absolute und Relative Geschwindigkeit
Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ zur
Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die
Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit va).
Diese Unterscheidung ist wichtig, da nur für letztere das 2. Newtonsche
Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine
absolute Geschwindigkeit.

va absolute Geschwindi gkeit

v relative Geschwindi gkeit
 
 
 a  va    v
 
 
 a  va    v
Die Operatoren sind über räumliche
Ableitungen definiert. Offensichtlich kann
sich auch der Operator ändern, wenn
man von einem Bezugssystem zum
anderen geht.
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde
Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur um
sich selbst).
Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem (Inertialsystem)
eine Kreisbahn.
Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die
Richtung ändert.
Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn ist die Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist von der Breite abhängig


R=r cosφ
R

vR
 d
2


 7,2722 10 5 rad/s
dt 60  60  24

 vR
m
dλ
r
φ
λ
ds=Rdλ
R
 


ds 
d 
vR  i  R
i  R  m  r cos   i
dt
dt
 

vR    r
Rotation der Absolutgeschwindigkeit
Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde
  
bewegenden Teilchens gilt: 
va  v    r
Für die Rotation gilt:


 
    
 
  va    v      r    v 



2

 
     
      
aus  r   ( r )  (  ) r  ( r  )   r (  )
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation




  
    
 a  k    va  k    v  k  2    2 sin 

mit    und  geografisc he Breite
 a     f
mit  a

absolute Vorticity
relative Vorticity
f  2 sin  Coriolispa rameter
Vorticity und Coriolisparameter
a   f
mit  a
absolute Vorticity

relative Vorticity
f  2 sin  Coriolispa rameter
Pol
f ist der Teil der Rotation, der durch die
Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH
negativ).

Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie
 
der der Erde, nennt man das zyklonal.
  Zyklonal heißt also:
 z  k   auf der NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv
auf der SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ.

Die absolute Vorticity ist regional eine
Äquator
Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und
bestimmt so entscheidend die
Wirbelstruktur der großräumigen
atmosphärischen Bewegung mit.
Vorticity und Zirkulation
So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein
integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so
hat auch die Rotation (Vorticity) als differentieller Operator ebenfalls ein
integrales Äquivalent in der Rotation C durch den Stokesschen Satz:
 
C   v  dl

F
L(F)
F
L( F )

  v cos dl

dl
α

v
L( F )
 
C   v  dl 

L( F )
 
 rot v  dF
Satz von F
Stokes
Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem
Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.
Vorticity und Zirkulation
 
C   v  dl 

L( F )
 
 rot v  dF
Satz von F
Stokes
Herrscht im Inneren der
Fläche eine andere
Drehrichtung (Rotation) als
auf dem Rand, so wird diese
bezüglich der Rotation
überkompensiert durch die
umso stärkere Schervorticity
in der Nähe des Randes.
Vorticity und Zirkulation
- horizontal 

 
 
Ch   vh  dl   rot vh dF   k  dF 
   dF
L( F )
F
F
dF k F
1
1
dCh  dF   dCh   dF   dCh   dF
F
F
daraus folgt :
F
Ch
 
F
Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus
endlich voneinander entfernten Messungen.
Vorticity bei Kreisbewegung in
der Ebene
 
Ch   v  dl 

L( F )

  v rd 
L( F )


 
 v dl da v dl
Kreis- L ( F )
bewegung
dl
d
rd   r
rd

dt
dt
L( F )
L( F )
2
2
2

r
d


2

r

2


r
  2F

L( F )
Kreisfläche

v

dl
d

dt
d

r
dl  rd
dCh
d
2F   2
  

dF dF
Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der
zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.
Natürliches Koordinatensystem
Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft
nützlich anstatt des starren und ortsfesten
kartesischen Koordinatensystem ein System
zu verwenden, dass an die Strömung selbst
gebunden ist.
Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt
aus einer beliebigen Strömung, so lässt sich
dieser als ein Teil eines Kreisbogens
auffassen.
Ein geeignetes Koordinatensystem mit dann
nur noch zwei Achsen wird dann festgelegt
durch Einheitsvektoren in Richtung des
a) Windrichtungsvektors
b) Vektors parallel zur Richtung des
hypothetischen Kreismittelpunktes
 


v v  
s0    , s0  n0  k
v v
  
s0 , n0 , k bilden ein Rechtssyst em

n0

n0

s0

s0
Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)
Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale Trennung zwischen
Krümmungs- und Scherungsvorticity:
Berechnung der Zirkulation
und Vorticity über den
V + Δn
schraffierten Bereich:
V
n
s' =
V


C  V (s  s)  V 
n s
n


 
 V
 
V
ns
s 
 n
n
s
  lim n,s 0
C
V V


ns
n Rs
s
mit Rs 
Krümmungsr adius

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
y
y
+
+
a
b
x


V

n
Scherungsvorticity
x

V
Rs
Krümmungsvorticity
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und
Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung
Bezeichnungen:
p*=p0-p
ω*=-ω=-dp/dt~w
500
p*
400
u v   
 
  p  vp  0
x y 
p



hPa
300
divv H
200
p *
div v H
100
0
-6
-4
-2
in 10-4 hPa/s
0
2
 *
4
div v H in 10-6 s-1
typischer Verlauf in der Passatregion
Positive Divergenz vom Boden bis
ca. 160 hPa vom Boden ist mit
zunehmendem Absinken verbunden.
Bis 350 hPa herrscht Konvergenz;
das Absinken muss schwächer
werden.
Darüber herrscht wieder Divergenz
und das Absteigen verstärkt sich
wieder.
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und
Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung
(wie vorher) und der Vorticity über die Vorticitygleichung
200
div v H
p
u v 
 
0
x y p



divv H
400
hPa

 
d
  f  h  vh
dt
600

800
1000
-10
-5
in hPa/h
0
div vH und
Typischer Verlauf in ITCZ
5
in 10-6 s-1
Die Vorticitygleichung verbindet
zunehmende Vorticity mit
Konvergenz und abnehmende
Vorticity mit Divergenz
(Piruetteneffekt)
wachsend
ungestört
voll entwickelt
zerfallend
800
z in m
600
400
200
0
-60
-40
-20
0
div vH in 10-6 s-1
20
Gemessene Konvergenzen des
horizontalen Windes in den
unteren 800 m während
unterschiedlicher Stadien von
tropischen Störungen in der
ITCZ. Diese sind bis auf das
Zerfallstadium immer mit
bodennahen Konvergenzen
verbunden.
Übungen zu IV.1.2
1. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein
Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 50 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an
den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende
Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s,
Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den
erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie
ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s
höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
2. Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und
Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.
IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien
• Stromlinien sind Momentaufnahmen
eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem
Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die
Luft parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg
eines Teilchens über eine Zeitspanne
Beispiel für Stromlinien über Westafrika
Eine Stromlinie ist
eine Kurve, deren
Tangente an jedem
Punkt die Richtung
des
Geschwindigkeitsvektors angibt:
Für eine Stromlinie in
der x-y-Ebene gilt:
v
y v( x, y, t0 )

x u ( x, y, t0 )
u
Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der Stromlinien
proportional zu dem Betrag der Geschwindigkeit (Beispiel: die
Isobaren sind die Stromlinien des geostrophischen Windes).
Frage: Ist der geostrophische Wind u :  1 p , v :
g
g
divergenzfrei?
f y
1 p
f x
v
dy  dx
u
v
y  y0  ( x  x0 )
u
Trajektorienberechnungen für
verschiedene Zeiten für das
Reaktorunglück bei Tschernobyl am
26.4.1986.
Trajektorien berechnet man durch
Integration der folgenden
Gleichungen über die Zeit
dx
dy
 u ( x, y , t ) ,
 v ( x, y , t )
dt
dt
dx  u ( x, y, t )dt
t0
x(t )  x(t0 )   u ( x, y, t )dt 
t
 u ( x, y, t )(t  t0 )
analog für y(t)
Beispiel:
Stromlinien
 2

u  U  const , v  A cos
( x  ct ) 
 

y v( x, y, t0 ) A
A 
 2

 2


 cos
( x  ct )  , y( x) 
sin 
( x  ct )   const
x u( x, y, t0 ) U
U 2  
 


Trajektorie
t
t
x(t )   u ( x, y, t )dt    Udt   Ut
0
0
 2 
A 
c 
 2




x  ct dt 
y (t )   v( x, y, t )dt   A cos
sin 
1   x   y ( x)
U  c 2
 

   U 
0
0
mit y0  0 , x0  0 , t0  0
t
t
0.5
S2
y'
Trajektorie
S1
0.0
S3
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x'
Die Trajektorie hat hier eine
größere Amplitude (da c<U
angenommen wurde) und
eine längere Wellenlänge
(dito).
In der Abbildung wurden x
und y mit λ normiert, U=A und
2.0 c=0,3U gesetzt.
Übungen zu IV.1.3
1.
2.
Gegeben ist ein horizontales Windfeld mit u = uo, v = vo cos(2 πx/L) mit
uo=10 m/s, vo=5 m/s und L=1000 km (Wellenlänge).
a) Berechne für dieses Feld die Rotation und die Divergenz.
b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die durch
(x,y)=(0,0) führt.
Die Temperatur nimmt von einem bestimmten Ort in der Atmosphäre gegen
Westen um 0.1 K ab, der Wind weht aus West mit 10 m/s.
a) Wie groß ist die Temperaturänderung am besagten Ort, falls die
Luftpakete auf ihrem Weg ihre Temperatur beibehalten?
b) Wie groß ist sie, falls sich durch Strahlung und andere Effekte die
Temperatur der bewegten Luftpakete pro Kilometer um 0.01 K erhöht.