3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten

3.4. Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln
Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder ~v , w
~ gelten die Beziehungen
∇(f g) = f ∇g + g ∇f
∇(~v · w)
~ = (~v · ∇)w
~ + (w
~ · ∇)~v + ~v × (∇ × w)
~ +w
~ × (∇ × ~v )
(3.50a)
(3.50b)
∇ · (f~v ) = f ∇ · ~v + ~v · ∇f
(3.50c)
∇ · (~v × w)
~ =w
~ · (∇ × ~v ) − ~v · (∇ × w)
~
(3.50d)
∇ · (∇f ) = div (grad f ) = ∆f
(Laplaceoperator)
(3.50e)
∇ · (∇ × ~v ) = div (rot ~v ) = 0
(quellenfrei)
(3.50f)
∇ × (∇f ) = rot (grad f ) = 0
(wirbelfrei)
(3.50g)
∇ × f~v = f ∇ × ~v + ∇f × ~v
(3.50h)
∇ × (~v × w)
~ = (w
~ · ∇)~v − w(∇
~
· ~v ) + ~v (∇ · w)
~ − (~v · ∇)w
~
(3.50i)
∇ × (∇ × ~v ) = rot (rot ~v ) = grad (div ~v ) − ∆~v
(3.50j)
Beispiel
Zur Übung beweisen wir die erste Zeile:
∇(f g) = (∂x (f g), ∂y (f g), ∂z (f g))
= (g∂x f + f ∂x g, g∂y f + f ∂y g, g∂z f + f ∂z g)
= (g∂x f, g∂y f, g∂z f ) + (f ∂x g, f ∂y g, f ∂z g)
= g (∂x f, ∂y f, ∂z f ) + f (∂x g, ∂y g, ∂z g)
= g∇f + f ∇g
3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
Die soeben kennengelernten Differentialoperatoren beschreiben die räumliche Variation
von Skalar- und Vektorfeldern. Wie schon im Fall von zeitabhängigen Vektoren führt
die Ortsabhängigkeit der Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen zu etwas
komplizierteren Ausdrücken im Vergleich zu kartesischen Koordinaten.
52
Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung
3.4.1 Polarkoordinaten
Am einfachsten lassen sich die Zusammenhänge wieder in Polarkoordinaten verstehen.
Um den Nablaoperator in Polarkoordinaten zu bestimmen, betrachten wir die Änderung
des Skalarfeldes f (~r) zwischen den zwei Punkten ~r = (r, ϕ) und ~r + d~r = (r + dr, ϕ + dϕ),
df =
∂f
∂f
dr +
dϕ
∂r
∂ϕ
(3.51)
Der Gradient soll unabhängig von der Wahl der Koordinaten folgende Gleichung erfüllen:
df = d~r · ∇f
(3.52)
wobei der Vektor d~r in Polarkoordinaten folgende Darstellung hat:
d~r = dr êr + rdϕ êϕ
(3.53)
Der Gradient von f ist ein Vektor, und deshalb ebenfalls mit Hilfe von êr und êϕ darstellbar:
∇f = αêr + βêϕ
(3.54)
Mit diesem Ansatz erhalten wir
df = d~r · ∇f
= (dr êr + rdϕ êϕ ) · (αêr + βêϕ )
= αdr + βrdϕ
(3.55)
Der Vergleich mit Gleichung (3.51) ergibt
α=
∂f
,
∂r
β=
53
1 ∂f
r ∂ϕ
(3.56)
3.4. Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
und damit für den Gradienten von f in Polarkoordinaten
∇f = êr
∂f
1 ∂f
+ êϕ
∂r
r ∂ϕ
(3.57)
Der Nablaoperator ist also in Polarkoordinaten gegeben durch
∇ = êr
1 ∂
∂
+ êϕ
∂r
r ∂ϕ
(3.58)
Mit Hilfe des Nablaoperators können wir auch die Divergenz in Polarkoordinaten ableiten, müssen dabei aber die Abhängigkeit der Basisvektoren von r und ϕ beachten:
∂êr
= ∂r (cos ϕêx + sin ϕêy ) = 0
∂r
∂êϕ
= ∂r (− sin ϕêx + cos ϕêy )= 0
∂r
(3.59)
∂êr
= ∂ϕ (cos ϕêx + sin ϕêy ) = − sin ϕêx + cos ϕêy = êϕ
∂ϕ
∂êϕ
= ∂ϕ (− sin ϕêx + cos ϕêy )= − cos ϕêx − sin ϕêy = −êr
∂ϕ
(3.60)
Die Divergenz des Vektorfeldes ~v ist damit
∂
1 ∂
∇ · ~v = êr
+ êϕ
· (vr êr + vϕ êϕ )
∂r
r ∂ϕ
∂
1
∂
∂
∂
(vr êr ) +
(vϕ êϕ ) + êϕ ·
(vr êr ) +
(vϕ êϕ )
= êr ·
∂r
∂r
r
∂ϕ
∂ϕ
"
#
∂êϕ
∂vr
∂êr ∂vϕ
= êr ·
êr + vr
+
êϕ + vϕ
∂r
∂r
∂r
∂r
|{z}
|{z}
0
0
"
#
∂êϕ
∂vr
∂êr ∂vϕ
1
+ êϕ ·
êr + vr
+
êϕ + vϕ
r
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
|{z}
|{z}
−êr
êϕ
=
∂vϕ
∂vr
1 ∂vr
1
1 ∂vϕ
1
êr · êr +
êr · êϕ +
êϕ · êr + vr êϕ · êϕ +
êϕ · êϕ − vϕ êϕ · êr
∂r | {z } ∂r | {z } r ∂ϕ | {z } r | {z } r ∂ϕ | {z } r
| {z }
1
0
0
1
1
∂vr
1
1 ∂vϕ
=
+ vr +
∂r
r
r ∂ϕ
0
(3.61)
Die Divergenz wird üblicherweise noch folgendermaßen umgeschrieben:
∇ · ~v =
1 ∂
1 ∂vϕ
(rvr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
54
(3.62)
Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung
Den Laplaceoperator erhalten wir, in dem wir in den Ausdruck für die Divergenz den
speziellen Vektor
∂f
1 ∂f
~v = ∇f = êr
+êϕ
(3.63)
∂r
r ∂ϕ
|{z}
| {z }
vr
vϕ
einsetzen:
∆f = ∇ · ∇f
1 ∂ ∂f 1 ∂ 1 ∂f
=
+
r
r ∂r |{z}
∂r r ∂ϕ r ∂ϕ
| {z }
vr
=
vϕ
∂2f
∂2f
1
1 ∂f
+ 2 + 2
r ∂r
∂r
r ∂ϕ2
(3.64)
Beispiel
Wir berechnen die Divergenz des radialen Vektorfeldes ~v = rêr :
∇ · ~v =
1 ∂
1
1 ∂ 2
(rr) + 0 =
r =2
r ∂r
r
r ∂r
In kartesischen Koordinaten gilt ~v = xêx + yêy , und
∇ · ~v = ∂x x + ∂y y = 2
Die Divergenz ist also unabhängig vom Koordinatensystem. Hätten wir die Divergenz in Polarkoordinaten als ∇ · ~v = ∂r vr + ∂ϕ vϕ definiert, wäre das nicht der Fall.
3.4.2 Zylinderkoordinaten
Die Herleitung der Differentialoperatoren kann auf demselben Weg wie für Polarkoordinaten erfolgen. Für die Ableitungen der Basisvektoren ergeben sich folgende Beiträge:
∂êρ
= êϕ ,
∂ϕ
∂êϕ
= −êρ
∂ϕ
(3.65)
Alle anderen Ableitungen sind Null.
Der Gradient eines Skalarfeldes f in Zylinderkoordinaten ist gegeben durch
∂f
1 ∂f
∂f
+ êϕ
+ êz
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
und für den Nablaoperator gilt entsprechend
∇f = êρ
∇ = êρ
∂
1 ∂
∂
+ êϕ
+ êz
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
55
(3.66)
(3.67)
3.4. Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist gegeben durch
∇ · ~v =
1 ∂
1 ∂vϕ ∂vz
(ρvρ ) +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
(3.68)
Im Unterschied zu den Polarkoordinaten können wir in drei Dimensionen auch die Rotation definieren, welche in Zylinderkoordinaten durch
∂vϕ
∂vρ
∂(ρvϕ ) ∂vρ
∂vz
∂vz
1
1
− êϕ
+ êz
∇ × ~v = êρ
−ρ
−
−
ρ
∂ϕ
∂z
∂ρ
∂z
ρ
∂ρ
∂ϕ
ê ρêϕ êz 1 ρ
= ∂ρ ∂ϕ ∂z (3.69)
ρ
vρ ρvϕ vz gegeben ist (die Determinante muss nach der ersten Zeile entwickelt werden).
Schließlich haben wir noch den Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten:
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
ρ
+ 2
+
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
∂z 2
(3.70)
Beispiel
Das Magnetfeld eines vom Strom I durchflossenen Leiters in der z Richtung ist gegeben durch
µ0 I
−y
x
~
B=
êx + 2
êy
2π x2 + y 2
x + y2
~ zu berechnen, transformieren wir zuerst in ZylinderUm die Divergenz und die Rotation von B
koordinaten
µ0 I −ρ sin ϕ
ρ cos ϕ
~
B=
(cos ϕ êρ − sin ϕ êϕ ) +
(sin ϕ êρ + cos ϕ êϕ )
2π
ρ2
ρ2


µ0 I 1 
êρ (− sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ) +êϕ sin2 ϕ + cos2 ϕ 
=
|
{z
}
2π ρ
|
{z
}
=0
=1
µ0 I 1
êϕ
=
2π ρ
Das Feld hat die Komponenten Bρ = 0, Bϕ = µ0 I/2πρ und Bz = 0. Daraus erhalten wir
~ = 1 ∂ µ0 I 1 = 0
∇·B
ρ ∂ϕ 2π ρ
êρ
ρêϕ
êz 1
~ = ∂ρ
∂ϕ
∂z = 0
∇×B
ρ 0 ρ µ0 I 1 0 2π ρ
~ = 0 ist überraschend, weil es sich bei B
~ offensichtlich um ein Feld mit einer
Das Ergebnis ∇ × B
Drehkomponente handelt. Wir werden sehen, dass das Resultat nur für ρ > 0 gilt, während der
felderzeugende Strom bei ρ = 0 fließt.
56
Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung
3.4.3 Kugelkoordinaten
Der Gradient eines Skalarfeldes f ist gegeben durch
∇f = êr
∂f
1 ∂f
1 ∂f
+ êθ
+ êϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(3.71)
Der Nablaoperator hat entsprechend die Form
∂
1
∂
1 ∂
+ êθ
+ êϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(3.72)
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂vϕ
(r vr ) +
(sin θvθ ) +
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(3.73)
∇ = êr
Die Divergenz ergibt sich als
∇ · ~v =
Die Rotation kann in der Form (Entwicklung nach der ersten Zeile)
1
∇ × ~v = 2
r sin θ
êr rêθ r sin θêϕ
∂r ∂θ
∂ϕ
vr rvθ r sin θvϕ
(3.74)
geschrieben werden, und der Laplaceoperator ist gegeben als
1 ∂
∆f = 2
r ∂r
1
∂
∂f
1
∂2f
2 ∂f
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
(3.75)
Beispiel
Wir berechnen die Rotation des Feldes
c
c
c
F~ = − 3 ~r = − 3 rêr = − 2 êr
r
r
r
In Kugelkoordinaten erhalten wir
1
∇ × F~ = 2
r sin θ
êr
∂r
− c2
r
rêθ
∂θ
0
r sin θêϕ
∂ϕ
0
Das Feld hat in diesen Koordinaten nur eine Komponente Fr . Da die Ableitungen von r nach θ
und ϕ verschwinden ist die Rotation Null.
57
3.4. Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.4.4 Orthogonale, krummlinige Koordinaten
Die Faktoren in den Differentialoperatoren im Vergleich zu kartesischen Koordinaten haben mit der Änderung des Ortsvektors bei Variation einer Koordinate zu tun. Betrachten
wir orthogonale Koordinaten u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), dann haben wir zunächst
d~r =
∂~r
∂~r
∂~r
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
was mit den Koeffizienten
∂~r = hu ,
∂u ∂~r = hv ,
∂v ∂~r ∂w = hw ,
(3.76)
(3.77)
und êα = (∂~r/∂α)/hα (Kapitel 2) zu folgender Darstellung führt:
d~r = hu duêu + hv dvêv + hw dwêw .
(3.78)
Während in kartesischen Koordinaten hx = hy = hz = 1 gilt, ist das im Allgemeinen
nicht der Fall. Entsprechend ergeben sich die Differntialoperatoren wie folgt:
X 1
∂f
1 ∂f
1 ∂f
1
∂f
êα
=
êu
+ êv
+
êw
h
∂α
h
∂u
h
∂v
h
∂w
α
u
v
w
α
X
Y
1
∂
~=
∇·A
Aα
hβ
hu hv hw α ∂α
β6=α
hu êu hv êv hw êw 1
~=
∂u
∂
∂
∇×A
v
w
hu hv hw hu Au hv Av hw Aw ∇f =
Aus den entsprechenden Definitionen in Kapitel 2 folgt für Zylinderkoordinaten
hρ = 1 ,
hϕ = r ,
hz = 1 ,
und für Kugelkoordinaten
hr = 1 ,
hθ = r ,
58
hϕ = r sin θ .
(3.79)
(3.80)
(3.81)