met210-111-IV

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
IV Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
IV.1 Kinematik (1)
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur
von Windfeldern
– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung
– ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre
– Divergenz (Volumeninhalt wächst oder schrumpft)
– Rotation (Volumeninhalt konstant, ändern der Ausrichtung)
– Deformation (Volumeninhalt konstant, Ausrichtung konstant)
Volumen sei konstant
?
3
IV.1 Kinematik (2)
1. Divergenz
•
•
Definitionen
Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung
2. Rotation und Zirkulation
•
•
•
Definitionen
Natürliches Koordinatensystem
Zusammenhang mit Divergenz über Vorticity
3. Stromlinien und Trajektorien
•
•
Definitionen
Beispiele
4
IV.1.1 Divergenz der Windgeschwindigkeit
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen(Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen
(Divergenz) der Luft.
Bei Beschränkung auf die
   u v w
div v    v 


horizontalen Windkomponenten
x y z
wird der Zusammenhang zwischen
 
Strömungsfeld und Divergenz

u v
div v H    v H 

unmittelbar deutlich.
x y
t=0
t=t1
<0
x
>0
<0
5
Beispiele zur Divergenz
1 ms 1 

  (1 ms 1 ) (1 ms 1 ) (1 ms 1 )
 
1
v  1 ms     v 


 0 s 1
x
y
z

1 
1 ms 
 x ms 1 

  x y z
 
1
v   y ms     v 


 3 s 1
x y z

1 
z
ms


2x 

2x 

u
sin
 0


u
sin


0
L 
 
 
2x
L  2u0

v 
0



v


cos

x
L
L


0




u0




 

2

x


v  v 0 sin
  v  0
L 



0


L/2
L/4
L
L/2
6
Divergenz und Massenerhaltung (1)
Mi
M  Nettomasse nfluss aus dem Volumen
V fest, [M]  kg/s
m
( V )


 V
t
t
t
mit m Masse und  Dichte
M
V, m, ρ=m/V
Massenflus s durch eine beliebige Randfläche i
M i  v Fi  Fi  ρ  0 wenn Fluss aus V heraus
kg/s m/s m² kg/m³
Ein Nettomassenfluss M durch die festen
Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit
Dichteänderung innerhalb des Volumens.
7
Divergenz und Massenerhaltung (2)
z
Δz
Ein Würfel sei ausgerichtet parallel zu
den Koordinatenachsen
Fx , Fx , Fy , Fy , Fz , Fz

r0
x
y
v F   u , v F   u
x
x
v F   v , v F    v
y
Δx
y
v F   w , v F    w
Δy
z
z
 M  M x  M x  M y  M y  M z  M z Nettomasse nfluss

 

 
Mx
My
Mz
Taylor - Entwicklun g
 
x
x



M x  M x  M x   u  x 0 
, y 0 , z0   u  x 0 
, y 0 , z0 yz
2
2
um zentralen Punkt



 

u
x0 , y 0 , z0  x  u x0 , y 0 , z0   u x0 , y 0 , z0   x yz
  u x 0 , y 0 , z0  
x
2
x
 2 

u
x0 , y 0 , z0 xyz  u V

x
x
Die erste Approximation geht davon aus, dass z.B. ρu sich über
die Flächen Mx wenig ändert.
8
Divergenz und Massenerhaltung (3)
z
analog für die zwei anderen Richtungen,
also insgesamt:
Mx 

r0
Δz
x
y
Δx
Δy



   v 
t
u
v
w
V , My 
V , Mz 
V
x
y
z

M   V  M x  My  Mz
t
 u v w 
 V
 


y
z 
 x
  

 x   u 


 




 


v
V




v
V




y






    w 
 z 

Kontinuitätsgleichung
(Massenerhaltung)
9
Eulersche und Lagrangesche
Kontinuitätsgleichung
 
d   

 v  
Advektionsgleichung für ρ:
dt t



Eulersche Kont‘gleichung:
   v 
t






d

Umrechnung:

 v       v 
t dt

  
d
   v   v   
dt
   
 
  v       v  v   

 
 
 
 
Produktreg el
Lagrangesche Kont‘gleichung
 
d
    v
dt
10
Sonderfall: Inkompressibles Medium
• Ist ein Medium inkompressibel, so kann man es weder
zusammenpressen noch auseinander ziehen (z.B. Wasser). Dabei
kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren
inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. Wasser-Öl-Mischung )
• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung
als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.
 keine Ausdehnung beim Aufsteigen
 keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik)
• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der
Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen
Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.
• Es gilt dann offensichtlich:
beachte aber:
 
d
 0   v  0
dt

 0 !!!
t
dicht
dünn
11
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (1)
•
•
Nehmen wir Inkompressibilität an, so folgt aus dem Zusammenströmen von Luft in der Horizontalen (horizontale Konvergenz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.
Erfolgt bei Inkompressibilität die horizonale Konvergenz am
Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben
ausweichen.
 Bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen
darüber.
 Bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen
 
darüber.
 u
u v w
w
 v  0 
•
x

y

z
0
h
0
v 

  

z
 x y 
Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich
nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.
 1 h  u v  
 u v 
dz     
dz h
w (h )   dw    



x

y
h

x

y

0
0
0



h
h
höhen - gemittelte
horizontal e Div ergenz
  h
w (h )   H  v H h
→Am Boden ist die Vertikalgeschwindigkeit 0, dann nimmt sie mit der Höhe zu.
12
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (2)
Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs
H
T
• In Hochdruckgebieten ist der Windvektor leicht aus dem Hoch heraus
gerichtet.
 Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Hoch absinken
• In Tiefdruckgebieten ist der Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet
 Aus Kontinuitätsgründen muss Luft im Tief aufsteigen.
13
Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (3)
Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t)

dp   gdz  p ( z )  g  dz mit p ()  0
z




p

 g
dz   g    v dz
t
t
z
z

b)
a)



w
  g   H  v dz  g 
dz
z
z
z
c)
z,
p
t






p
  g   vH   H    H  vH dz  
gw












t
z
c)
a)
b)


→Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:
a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber
b) horizontale Konvergenz in der Luft darüber
c) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z
14
Konvergenz und Konfluenz
• Von Null verschiedene Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen
wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.
• Bei zweidimensionaler Konvergenz gilt der Zusammenhang mit
Dichteänderungen nicht unbedingt, da wir nicht wissen, was in der
vertikalen Dimension passiert.
• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz)
bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungsrichtungen (unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit).
• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder
divergent sein!
2D-Strömung mit Konfluenz
und Diffluenz, aber
verschwindender Divergenz
(angedeutet durch
gleichbleibendes Volumen)
15
Einschub:
Kontinuitätsgleichung im p-Koordinatensystem
Bei großskaligen Bewegungen, bei denen die statische Grundgleichung
annähernd gilt, wird als Vertikalkoordinate anstatt der z-Koordinate oft der Druck
p genommen. Neben offensichtlichen Nachteilen hat das p-System den rechentechnischen Vorteil, dass die Kontinuitätsgleichung einfacher aussieht.
Zur Ableitung betrachtet man die Änderung eines Volumens V (jetzt nicht starr)
durch die Luftbewegung:
 p 

V  xyz  xy 
 g 
Für die Massenänderung gilt unmittelbar: dm
d
d  xyp 

 0  V    
dt
dt
dt 
g

dx  yp  dy  xp  dp  xy 

 

 

 , /( V) ,  g
0
dt  g  dt  g  dt  g 
1 dx
1 dy
1 dp
1  dx  1  dy  1  dp 
0



  

 

x dt
y dt
p dt
x  dt  y  dt  p  dt 
Δu Δv Δ
dp
0


mit  
und schließlic h bei Grenzwertb ildung :
Δx Δy Δp
u v   


 p  v p  0
x y p
dt
Dann gilt der formale Zusammenhang von
letzter Seite ohne Annahme der
Inkompressibilität!
16
Flächenmittel der horizontalen Divergenz
und der Integralsatz von Gauss (1)
• Bei Messungen, wie bei Modellen sind die Felder der meteorologischen
Größen nicht überall bekannt, sondern entweder an den Messpunkten oder
den Gitterpunkten des Modells.
• Die Berechnung der Divergenz benötigt aber formal ein kontinuierliches Feld,
da der Nabla-Operator ein differentieller Operator ist.
• Tatsächlich interessiert aus verschiedenen Gründen meist oft nur die
räumlich gemittelte Divergenz eines Windfeldes.
• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale
Divergenz) verbindet die differentielle Formulierung mit einer integralen
Formulierung
F
y
 
1
D :  H  v H 
F
ds
F
 
 H  v H dxdy
dxdy
 Satz v on
Gauss
v
H
 1  
. 
1
n 

v H  nds   v nds

vn  n  vH
FF
FF
x
17
Flächenmittel der horizontalen Divergenz
und der Integralsatz von Gauss (2)
Δx
y
Die seien Stationspositionen an denen der
Wind gemessen wird.
Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das
die Stationen verbindet.
d
a
Δy
F
b
c


  ua dy   vb dx   uc dy   vd dx 
b
c
d
 a

1

 ua y  vb x  uc y  vd x
xy
1
1

uc  u a 
vd  vb
x
y
über a gemittelte
1
mit ua 
ua dy

u - Komponente
y a
1
D
F

x

Anmerkung:
Grenzwertbildung bei D hinter dem
letzten Gleichheitszeichen führt mit
∆x,∆y→0 wieder zur Definition der
Divergenz, womit auch der Satz
von Gauss bewiesen ist.




18
Übung zu IV.1.1
y
Δx=100 km
d
a 4 m/s, 120°
8 m/s
10 m/s
F
90°
90°
c
b 4 m/s, 60°
1. Bestimme die mittlere horizontale
Divergenz D für nebenstehende
Beobachtungen.
2. Wie ändern sich die Werte, wenn
wegen Messfehler tatsächlich an
Δy=50 km
der Westseite die Windstärke 1
m/s höher und an der Ostseite 1
m/s niedriger ist?
x
3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 2000 m Höhe 2 mm/s.
Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und
2000 m unter Annahme inkompressibler Luft?
4. Im Windfeld von 3. liege bei 2000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es
herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in
mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser
sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist
12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).
19
IV.1.2 Rotation und Zirkulation
•
•
•
•
•
•
rot-Operator
absolute und relative Geschwindigkeit
Zirkulation als integrales Maß der Rotation
Vorticity
natürliches Koordinatensystem
Zusammenhänge zwischen Vertikalgeschwindigkeit,
Divergenz und Vorticity
20
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

 
 
  v  rot v  



x

y

z

i
 u 
   
   v   x
 w  u
  
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 y
und hängen u und v nur von x und y
ab (keine Änderung mit der Höhe),
dann gilt offensichtlich:
 v u 
  
  v  k   k   
 x y 
Da die Luftströmung i.w. horizontal
ist hat ς eine besondere Bedeutung
in der Meteorologie.

j

y
v
 w v 


 
k  y z     xi
 u w   



    eta
z

z x
w  v u     zeta


 x  y 


.
Offensichtlich ist die
Rotation aus der
Zeichenebene zum Beobachter gerichtet. Sie
wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein
x achsialer Vektor.
 v u    
      k    v
 x y 
21
Beispiele
 u0 y 

 
v  0 
 0 


 0 
   
v   0 
 -u 
 0
 y 
  
v   x
 0 
 
0
   
v   0 
 -2 
 
u0



 
2

x

v   v0 sin
L 


 

0

 
0

  

v 
0
 2v
2x 
0


cos
L 
 L
 w v 
 

 y z 
   u w 
v   
z x 
 v u 
 

 x y 
L/4
L/2
22
Absolute und Relative Geschwindigkeit
• Durch die Erdrotation haben auch auf der Erde ruhende Gegenstände
in einem System, das z.B. in der Sonne verankert ist (gedachtes
Inertialsystem), bereits eine von Null verschiedene Geschwindigkeit.
• Wir unterscheiden zwischen der Geschwindigkeit, die die Luft relativ
zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit,
die die Luft relativ zu einem Intertialsystem hat (absolute
Geschwindigkeit va).
• Diese Unterscheidung ist wichtig, da z.B. nur für letzteres das 2.
Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
• Die ruhende (relativ zur Erde) Luft hat durch die Erddrehung eine
Geschwindigkeit, die wir als Mitführungsgeschwindigkeit bezeichnen.

v a absolute Geschwindi gkeit

v relative Geschwindi gkeit
 
 
 va   v
 
 
  va    v
Die Operatoren sind über räumliche
Ableitungen definiert. Offensichtlich kann
sich auch der Effekt des Operators
ändern, wenn man von einem
Bezugssystem zum anderen geht.
23
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde
• Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde dreht sich nur
um sich selbst).
• Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Absolutsystem
(Inertialsystem) eine Kreisbahn.
• Eine Kreisbahn ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die
Richtung ändert.
• Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn vR ist die
Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist von der Breite φ abhängig.
Rotationsvektor der Erddrehung:


R=r cosφ
r
R
φ

vR

 vR
 d
2


dt 60  60  24
 7,2722 10 5 rad/s
i
dλ
ds=Rdλ
R
λ



ds 
d 
vR  i  R
i  R  i  r cos   i
dt
dt

 

 r sin( 2   )  i

 r

Definition des
Vektor (Kreuz)- Produktes
24
Rotation der Absolutgeschwindigkeit
Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde
  
bewegenden Teilchens gilt also : 
Für deren Rotation gilt:
va  v    r


 
    
 
  va    v      r    v 

2

  
aus
  r 
  
  
( r )(  )r ( r  )  r (  )
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation




  
    
 a  k    v a  k    v  k  2    2 sin

mit    und  geografische Breite
a    f
mit  a
absolute Vorticity

relative Vorticity
f  2 sin Coriolisparameter
25
Vorticity und Coriolisparameter
a    f
mit  a
absolute Vorticity

relative Vorticity
f  2 sin Coriolisparameter
Pol
• f ist der Teil der Rotation um die lokale
Vertikale, der durch die Erddrehung
erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).

• Ist der Drehsinn der Relativbewegung wie
 
der der Erde, nennt man das zyklonal.
  Zyklonal heißt also:
• NH: gegen Uhrzeigersinn, ς positiv
z  k  
• SH: im Uhrzeigersinn, ς negativ.

• Die absolute Vorticity ist eine
Äquator
Erhaltungsgröße (Drehimpuls) und
bestimmt die Wirbelstruktur der
großräumigen atmosphärischen
Bewegung.
26
Vorticity und Zirkulation
So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein
integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so
hat auch die Rotation als differentieller Operator ebenfalls ein integrales
Äquivalent, und zwar in der Zirkulation C durch den Stokesschen Satz:
 
C   v  dl

F
L(F )
F

  v cos dl
L( F )
 
C   v  dl 

L( F )
L(F)

dl
α

v
 
 rot v  dF
Satz v onF
Stokes
Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation
genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes.
Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche
Satz.
27
Vorticity und Zirkulation
 
C   v  dl 

L( F )
 
 rot v  dF
Satz v onF
Stokes
Herrscht im Inneren der
Fläche eine andere
Drehrichtung (Rotation) als
auf dem Rand, so wird diese
bezüglich der Rotation
überkompensiert durch die
umso stärkere Schervorticity
in der Nähe des Randes.
28
Vorticity und Zirkulation
- horizontal 



 
Ch   v h  dl   rot v h dF   k dF 
 
L( F )
F
F
dF k
 dF
F
1
1
also dCh  dF   dCh   dF   dCh   dF
F
F
daraus folgt :
F
Ch
 
F
Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur
Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander
entfernten Messungen.
29
Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene
 
C h   v  dl
L( F )

  v rd 
L( F )




 
 v dl da v dl
Kreis - L ( F )
bewegung
dl
d
rd   r
rd

dt
dt
L( F )
L( F )
2
2
2

r
d


2

r

2


r


Kreisf läche
L( F )

Ch
 
 2
F
 2F

v

dl
d

dt
d

r
dl  rd
Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der
zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.
30
Natürliches Koordinatensystem
• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich
anstatt des starren und ortsfesten kartesischen
Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu
verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.
• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer
beliebigen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines
Kreisbogens auffassen.

n0

s0
• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt
durch Einheitsvektoren in Richtung
- des Windrichtungsvektors

- des Vektors senkrecht dazu nach links in der 
s0
n
Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur 0
Richtung des hypothetischen Kreismittelpunktes)
- der Normalen auf der Ebene des Kreises.
 


v v  
s 0    , s 0  n0  k
v v
  
s0 , n0 , k bilden ein Rechtssyst em
31
Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)

Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale
Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity.
Berechnung der Zirkulation
und Vorticity über den
schraffierten Bereich:
Rs
V+
Δn
V
n
s' =
s
n
V


C  V ( s  s )  V 
n s
n


 
 V
 
V
ns
s 
 n
  lim n,s 0
C
V V


ns
n Rs
s
mit Rs 
Krümmungsr adius

32
Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
y
y
+
+
a
b
x


V

n
Scherungsvorticity
x

V
Rs
Krümmungsvorticity
33
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und
Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung
Bezeichnungen:
p*=p0-p
ω*=-ω=-dp/dt~w
500
p*
400
u v   


 p v p  0

x 

y 
p

hPa
300

div v H
200
p *
div v H
100
0
-6
-4
-2
in 10-4 hPa/s
0
2
 *
4
div v H in 10-6 s-1
typischer Verlauf in der Passatregion
• Positive Divergenz vom Boden bis
ca. 160 hPa vom Boden ist mit
zunehmendem Absinken
verbunden.
• Bis 350 hPa herrscht Konvergenz;
das Absinken muss schwächer
werden.
• Darüber herrscht wieder
Divergenz und das Absteigen
verstärkt sich wieder.
34
Zusammenhang zwischen Vertikalgeschwindigkeit und
Divergenz des Horizontalwindes über Kont‘gleichung (wie
vorher) und der Vorticity über die Vorticitygleichung
200
div v H
p
u v 


0

x 

y p


div v H
400
hPa

 
d
 f  h  v h
dt
600

800
1000
-10
-5
in hPa/h
0
div vH und
Typischer Verlauf in ITCZ
5
in 10-6 s-1
Die Vorticitygleichung verbindet
zunehmende Vorticity mit
Konvergenz und abnehmende
Vorticity mit Divergenz
(Pirouetteneffekt)
35
wachsend
ungestört
voll entwickelt
zerfallend
800
z in m
600
400
Gemessene Konvergenzen des
horizontalen Windes in den
unteren 800 m während
unterschiedlicher Stadien von
tropischen Störungen in der
ITCZ.
Diese sind bis auf das
Zerfallstadium immer mit
bodennahen Konvergenzen
verbunden.
200
0
-60
-40
-20
0
20
div vH in 10-6 s-1
36
Übungen zu IV.1.2
1. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein
Gebiet mit 100 km Süd-Nord und 100 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an
den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende
Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s,
Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den
erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie
ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s
höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
2. Skizziere das Windfeld u=-y, v=x, w=0 und berechne seine Divergenz und
Rotation. Diskutiere die Ergebnisse.
3. Zeige, dass die Rotation der Mitführungsschwindigkeit auf der Erde das
zweifache des Rotationsvektors der Erde beträgt.
37
IV.1.3 Stromlinien und Trajektorien
• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines
Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu
diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über
eine Zeitspanne
38
Beispiel für Stromlinien über Westafrika
Eine Stromlinie ist
eine Kurve, deren
Tangente an jedem
Punkt die Richtung
des
Geschwindigkeitsvektors angibt:
v
u
Für eine Stromlinie in
der x-y-Ebene gilt:
dy
dx
Strom 
linie

v ( x, y , t 0 )
u( x, y , t 0 )
v
dx
u
v
y  y 0  ( x  x0 )
u
dy 
Bei divergenzfreier Strömung ist die Dichte der
Stromlinien proportional zum Betrag der
Geschwindigkeit (Beispiel: die Isobaren sind die
Stromlinien des geostrophischen Windes).
39
Trajektorienberechnungen für
verschiedene Zeiten für das
Reaktorunglück bei Tschernobyl
am 26.4.1986.
Trajektorien verfolgen den Weg
eines individuellen Teilchens mit
der Zeit, also in der Fläche x(t),
y(t).
Sie berechnet man also durch
Integration der folgenden
Gleichungen über die Zeit
dx
dy
 u ( x, y , t ) ,
 v ( x, y , t )
dt
dt
dx  u ( x, y, t )dt
t0
x(t )  x(t0 )   u ( x, y, t )dt 
t
 u ( x, y, t )(t  t0 )
analog für y(t)
40
Beispiel(1):
 2

u  U  const , v  A cos
( x  ct ) 
 

Stromlinie für t=0
0.5
S2
y'
Trajektorie
S1
Trajektori e
mit y0  0 , x0  0 , t0  0
0.0
S3
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x'
2.0
Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie
(da c<U angenommen wurde) und entsprechend auch eine
längere Wellenlänge.
In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert, und U=A und
c=0,3U gesetzt.
41
Beispiel (2):
Stromlinien
 2

u  U  const , v  A cos
( x  ct ) 
 

v ( x, y , t 0 ) A
dy
 2


 cos
( x  ct ) 

dx Strom
u ( x, y , t 0 ) U
 

linie
dy 
A
A
 2

 2

cos
( x  ct )  dx , y(x)   cos
( x  ct )  dx
U
U
 

 

A 
 2

y ( x) 
sin 
( x  ct )   const
U 2
 

0.5
S2
y'
Trajektorie
S1
0.0
S3
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x'
2.0
42
 2

u  U  const , v  A cos
( x  ct ) 
 

Beispiel (3):
Trajektorie
t
t
0
0
x(t )   u ( x, y, t )dt    Udt   Ut  x(t  0)
 2
x  ct dt 
y (t )   v( x, y, t )dt    A cos
 

0
0
t
t
x ( t  t )
x ( t  t )
 2 
 2 
cx   dx
A
c 

A
cos

x



cos

1




 x dx mit x  Ut , dx  Udt 

 
U
 


U
U
U



 
Substitution x ( t   0 )


x ( t 0 )
t  x

0.5
 2
A 
sin 
U  c 2
 
c

1 
 U
 
 x   y (t  0)  y ( x(t ))
 
S2
y'
Trajektorie
S1
0.0
S3
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x'
2.0
43
 2

u  U  const , v  A cos
( x  ct ) 
 

Beispiel (3):
Trajektorie
t
t
0
0
x(t )   u ( x, y, t )dt    Udt   Ut
 2
x  ct dt 
y (t )   v( x, y, t )dt    A cos
 

0
0
t
t
t

 2
x  ct    A  sin  2 x  ct   A  sin  2 x  
A
sin 
2c  
2c  
2c   
0

A

   2
 sin 
2c   

 2
x  ct    A   sin  2 Ut   sin  2 U  c t  
x   sin 
2c   

 


 

 2 
A 
c
sin 
1 
U  c 2
   U
 
 x   y ( x)
 
0.5
S2
y'
Trajektorie
S1
0.0
S3
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x'
2.0
44
Übungen zu IV.1.3
1.
Gegeben ist ein horizontales Windfeld mit u = uo, v = vo cos(2 πx/L)
mit uo=10 m/s, vo=5 m/s und L=1000 km (Wellenlänge).
a) Berechne für dieses Feld die Rotation und die Divergenz.
b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die
durch (x,y)=(0,0) führt.
45