räumliche Differentiation eines Vektors (Divergenz)

Erzeugung eines Skalars durch räumliche Differentiation einer vektoriellen Größe
Divergenz - der Gaußsche Integralsatz


Divergenz ist als Wort aus der Strahlenoptik bekannt
wird hier aber viel allgemeiner gebraucht:
Unter Divergenz verstehen wir das „Netto“ der aus einem Raumgebiet kommenden Vektoren des
betrachteten Vektorfeldes.

Beispiel:

- Vektorfeld v ( x, y, z)  const. ,
- parallele Lichtstrahlen,
- Ausbreitung in Pfeilrichtung,
- Pfeillänge entspricht Anzahl der Photonen
je Sekunde


Der Lichtstrom J durch die Fläche A berechnet sich mit dem Skalarprodukt J  v  A .
Er ist für beide Flächen bis auf das verschiedene Vorzeichen identisch.
Anmerkung: Für die seitlichen Flächen ergibt sich ohnehin Null, da der Flächenvektor und das


Vektorfeld senkrecht zueinander stehen. Daher folgt für das Skalarprodukt J  v  A  0 .

Liegt im inneren des Volumens Absorption vor, so wird J links  J rechts
Man spricht von einer negativen Ergiebigkeit, von einer "Senke" im Spatvolumen.
Die im Spat absorbierte Lichtmenge lässt sich mit Hilfe des Oberflächenintegrals berechnen:
 
J S  J Senke   v dA  0
O

Liegt im inneren des Volumens eine Lichtquelle vor, so wird J links  J rechts
Man spricht von einer positiven Ergiebigkeit, einer "Quelle" im Spatvolumen.

Die von der Quelle gelieferte Lichtmenge lässt sich berechnen
 
J Q  J Quelle   v dA  0
O
Die Ergiebigkeit des betrachteten Volumens kann auch dargestellt werden über
die Ergiebigkeit J P eines Raumpunktes oder „Raumabschnittes“ V
Für die Ergiebigkeit eines Quadervolumens (homogen in Bezug auf die Leuchtdichte) gilt dann:
 
J Q , S   v  dA  J P  V
J P : Ergiebigkeit pro Raumpunkt, Leuchtdichte
O
Die Gesamtergiebigkeit J Q, S ist gleich der Ergiebigkeit eines einzelnen Raumpunktes multipliziert
mit der Anzahl der leuchtenden Raumpunkte.
Der allgemeine Fall kann durch ein entsprechendes Volumenintegral berechnet werden:
 
J Q , S   v  dA   J P  dV
O
V - Spatvolumen, dV  dx  dy  dz - Volumenelement.
V
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Definition des Divergenzbegriffs
Ausgangspunkt für die skalare Größe „Divergenz“ ist die eben abgeleitete Integralbeziehung.
Vereinfacht (kleines Volumen, homogenes Feld) lässt sich das Integral mittels endlicher Größen für
einen Quader als Summe schreiben:
 
v
  dA  vx  Ax  v y  Ay  vz  Az 
O
 J P  V  J P  x  y  z
wegen Ax  y  z,
JP 
Ay  z  x, Az  x  y ,
V  x  y  z ergibt sich:
v x  Ax  v y  Ay  v z  Az v x v y v z
1  




v  dA
V
x y z V O
und im allgemeinen Fall:
JP 
 vx v y vz  1  

   v  dA


x , y , z 0 x

y

z

 VO
lim
Somit ergibt sich für die Ergiebigkeit eines Einzelpunktes (Grenzübergang Quadervolumen  0) die
Beziehung:
 dv dv y dvz
J P  div v  x 

dx dy dz

Man definiert die Divergenz eines Vektors v durch die Differentialoperation
 dv dv y dvz
div v  x 

dx dy dz
und versteht darunter die Ergiebigkeit eines Raumpunktes (Quelldichte).
Die Divergenzbildung von einem Vektor führt immer zu einem Skalar.
Die Gesamtergiebigkeit eines endlichen Raumvolumens kann unter Zuhilfenahme der bereits bekanten Integralbeziehung und der Quelldichte wie folgt berechnet werden:


 v  dA   J
O
P
 dV
V
Diese Gleichung wird als "Gaußscher Integralsatz" bezeichnet und läßt sich schreiben:



 v  dA   div v  dV
O
V

Das Oberflächenintegral des Vektors v , genommen über eine geschlossene Oberfläche, ist

gleich dem Raumintegral der Divergenz des Vektors v , genommen über das eingeschlossene
Volumen.
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Divergenz - alternative Darstellung:

physikalisches Beispiel
im Inneren einer geschlossenen Fläche befindet sich die elektrische Ladungsdichte  mit

dQ
;
dV

Q
V

an positiven Ladungen entspringen die Feldvektoren (Quellen), an negativen Ladungen enden sie
(Senken).

Wie bereits gesehen (Fluss eines radialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche
- Skript Oberflächenintegral) gilt:
  Q
E
  dA 
0

Division durch das Volumen ergibt eine mittlere Quellendichte
1   
E  dA 
V
0
wenn die Quellendichte in einem Punkt interessiert:

1
div E  lim
V 0 V


 E  dA
A(V )
Die ermittelte Divergenz liefert eine eindeutige Aussage, ob der Punkt P zu den Quellen des Vek-


torfeldes ( divE  0 ) oder den Senken des Vektorfeldes ( divE  0 ) gehört.

Im Falle divE  0 ist das Feld quellen- und senkenfrei.
In Anlehnung an dieses Betrachtung bezeichnet man die Divergenz auch als die Quellenstärke
eines Vektorfeldes.
Die Divergenz ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, ob das Feld dort eine Quelle/Senke
besitzt und wie ergiebig diese ist.
Divergenz des Gradientenvektors - der Laplace-Operator 
Da die Operation „Divergenz“ auf jegliche Vektorfelder anwendbar ist, lässt sie sich auch auf das

Vektorfeld des Gradienten grad f anwenden:

2 f 2 f 2 f
div grad f  f  2  2  2
x
y
z
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Herleitung einer praktischen Rechenvorschrift:
- bereits bekannt:

1  
div F  lim  F  dA
V 0 V
A
- Wir versuchen eine Näherung über endliche Größen:
1  
1
F  dA 
{Fx ( x  x, y, z )  Fx ( x, y, z )y z 

V
x y z


 Fy ( x, y  y, z )  Fy ( x, y, z ) x z 
 Fz ( x, y, z  z )  Fz ( x, y, z )x y} 
Fx ( x  x, y, z )  Fx ( x, y, z )

x
Fy ( x, y  y, z )  Fy ( x, y, z )


y
F ( x, y, z  z )  Fz ( x, y, z )
 z
z

Wir bilden V  0 ; x  0 , y  0 , z  0 und erhalten als Grenzwert die Summe der drei
partiellen Ableitungen
Divergenz des Vektorfeldes F:

1   F Fy Fz
div F  lim  F  dA  x 

V 0 V
x
y
z
Die Divergenz-Operation lässt sich auch mit Hilfe des
Nabla-Operators
   
   , , 
 x y z 
als Skalarprodukt ausdrücken:
   F Fy Fz
div F    F  x 

x
y
z
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ausgewählte Beispiele
Beispiel 1: Für homogene Vektorfelder verschwindet die Divergenz.

F ( x, y, z )  (a, b, c)
 



div F   (a), (b), (c)   0
y
z 
 x

Beispiel 2: Das Vektorfeld F ( x, y, z )  ( x, y, z ) hat die Divergenz 3.
 x y z
div F  

3
x y z
Beispiel 3: Das elektrische Feld einer Kugel mit homogener Ladungsdichte
(Gesamtladung Q , Kugelradius R ) hat

außerhalb der Kugeloberfläche die Form (entspricht Punktladung im Zentrum)

E ( x, y, z ) 


r
Q
 

2
40 r r 40
Q

( x, y, z )
x2  y2  z 2

3
innerhalb der Kugel wird nur der jeweils eingeschlossene Ladungsteil
Q' (4 / 3)  r 3

;
Q (4 / 3)  R 3
wirksam:

E ( x, y, z ) 
Q'  Q
r3
R3

r
Q
 
 ( x, y, z )
2
40 r r 40 R 3
Q'
Außerhalb der Kugel verschwindet die Divergenz des elektrischen Feldes:


Q 
divE 

40 

x
3
2
 y2  z2
 
3



3 x2  y 2  z 2 

0
5
x2  y2  z 2 


Im Kugelinneren gilt

divE 
3Q
Q



3
40 R
V 0 0
Bei homogener Ladungsverteilung ist im Innern der Kugel jeder Punkt eine Quelle des elektrischen
Feldes.
Außerhalb der Kugeloberfläche ist das elektrische Feld quellen- und senkenfrei.
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