Arbeitsblatt XI: Beispielklausur

Mathematische Methoden der Physik I
WS 16/17
Arbeitsblatt XI
Diese Woche gibt es eine “Beispielklausur”, die Ihnen einen Eindruck über und eine Vorbereitung
auf die 1. Teilklausur der nächsten Woche gibt.
Beispielklausur
Aufgabe 1:
Gegeben sind die Matrizen:
1
A=
i
0 1
;
1 0
1
B=
i
0 −i
i 0
(a) Berechnen Sie die Produkte A B, B A, A A und B B.
(b) Wie lauten die inversen Matrizen A−1 und B−1 ?
Hinweis: Sie benötigen dazu die Formel für die inverse Matrix nicht.
(c) Welche Eigenwerte haben die Matrizen A und B?
Aufgabe 2:
Zwischen den krummlinigen Koordinaten u und v und den kartesischen Koordinaten x und y
bestehe der Zusammenhang
1 2
u − v2
; y = uv
2
Berechnen Sie die Einheitsvektoren ~eu und ~ev und zeigen Sie, dass diese aufeinander senkrecht
stehen. In kartesischer Darstellung gilt ~r = (x, y).
x=
Aufgabe 3:
√
(a) Berechnen Sie die totale Ableitung der Funktion f (x1 , x2 ) = x1 x2 nach u, wenn x1 = u2
und x2 = cos u ist, indem Sie zunächst x1 (u) und x2 (u) in die Funktion f einsetzen und anschließend differenzieren.
df
∂f dx1
∂f dx2
(b) Berechnen Sie die totale Ableitung alternativ gemäß
=
+
.
du
∂x1 du
∂x2 du
(c) Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f (u) um u = 0 bis zur 2. Ordnung.
Aufgabe 4:
(a) Berechnen Sie sowohl für das Vektorfeld ~v (~r) = xy 2~ex + xz~ey − yz~ez als auch für das Vektorfeld w(~
~ r) = (y + z)~ex − (y + z)~ey + (x + y)~ez die Divergenz. Dabei gilt ~r = (x, y, z) in kartesischer
Darstellung.
(b) Bestimmen Sie den Gradienten des skalaren Feld f (~r) = ~v · w.
~
Aufgabe 5:
In kartesischen Koordinaten sei das Vektorfeld F~ (x1 , x2 , x3 ) = (x2 + 3, 2x21 , 0) gegeben.
Z
(a) Berechnen Sie
F~ · d~s entlang des Weges, der sich aus den beiden Strecken von (0, 0, 0)
nach (0, b, 0) und von (0, b, 0) nach (a, b, 0) zusammen setzt.
(b) Ist das Kraftfeld konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort.
=⇒
b.w.
Aufgabe 6:
~ = [(~a × ~b) · d]
~ ~c − [(~a × ~b) · ~c] d.
~
(a) Zeigen Sie die Gültigkeit der Identität (~a × ~b) × (~c × d)
Hinweis: Der Nachweis gelingt auch ohne Komponentenschreibweise.
(b) Die Bewegung eines Körpers (vernachlässigbarer Ausdehnung) mit der Masse m sei in einem
kartesischen Koordinatensystem durch den zeitabhängigen Ortsvektor

 

r1 (t)
a cos(ω t)
~r(t) = r2 (t) =  b sin(ω t) 
r3 (t)
0
gegeben.
Bestimmen Sie die Form der Bahn des Teilchens, d.h. bestimmen Sie die Abhängigkeit der
Komponente r2 (t) von der Komponente r1 (t) und eliminieren Sie dabei die Zeit t. Berechnen
~
Sie auch den Drehimpuls L(t)
= ~r(t) × p~(t) des Teilchens. Dabei ist p~ = m ~r˙ sein Impuls.
d~r
Hinweis: Es gilt natürlich ~r˙ = .
dt
Es wird auch einen Fragenblock geben, wie Sie es auf Arbeitsblatt V (siehe dort Aufgabe 17) kennen gelernt haben. Und – da keine Hilfsmittel (Taschenrechner, Bücher) erlaubt sein
werden – gibt es natürlich, wie versprochen, eine Formelsammlung:
Eventuell nützliche Formeln:
(A B)ij =
X
Aik Bkj
(Matrizenprodukt)
k
(A−1 )ij =
|A| =
(−1)i+j ∆ji
|A|
X
(−1)i+j Aij ∆ij
(Inverse Matrix)
(Laplace’sche Entwicklung nach einer Zeile)
j
|A| =
X
(−1)i+j Aij ∆ij
(Laplace’sche Entwicklung nach einer Spalte)
i
A~x = λ~x
(Eigenwertgleichung)
~a × (~b × ~c) = ~b (~a · ~c) − ~c (~a · ~b)
(‘bac-cab’-Regel)
∂f
∂f
∂f
∇f
=
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
∂vx ∂vy ∂vz
∇ · ~v =
+
+
∂x
∂y
∂z
(Gradient in kartesischen Koordinaten)
(Divergenz in kartesischen Koordinaten)
n
X
1 dk f (x0 )
f (x) ≈
·
· (x − x0 )k
(Taylor-Entwicklung einer skalaren
k
k!
dx
k=0
Funktion bis zur n-ten Ordnung)
Z
Z Z
Z
d~s
~
~
F · d~s =
F (~s(t)) ·
dt = F1 dx1 + F2 dx2
(Wegintegral in kartedt
sischen Koordinaten)
∂~r ∂~r
~eu =
(Einheitsvektor zur krummlinigen Koordinate u)
∂u ∂u
~er =
cos(ϕ) ~ex + sin(ϕ) ~ey (Zusammenhang der kartesischen Einheitsvektoren
~eϕ = − sin(ϕ) ~ex + cos(ϕ) ~ey mit denen eines ebenen Polarkoordinatensystems)