Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Prof. Dr. W. Kaballo Dortmund, 28.4.2016 Funktionentheorie I 3. Übungsblatt, SoSe 2016 1) a) Seien G ⊆ C ein Gebiet und f : G → R komplex differenzierbar. Zeigen Sie, dass f konstant ist. b) Drücken Sie ∆ = 2) ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y 2 durch ∂ ∂z und ∂ ∂z aus. w−z a) Seien z, w zwei komplexe Zahlen mit zw 6= 1. Zeigen Sie | 1−wz | < 1 für |z| < 1 w−z | = 1 für |z| = 1 oder |w| = 1. und |w| < 1 sowie | 1−wz Hinweis: Warum kann man z als reell annehmen? Es reicht dann aus (r −w)(r − w) ≤ (1 − rw)(1 − rw) zu zeigen, wobei Gleichheit für geeignete r und |w| gilt. b) Zeigen Sie, dass für ein festes w ∈ D := {z ∈ C : |z| < 1} die Abbildung w−z F : z 7→ 1−wz eine bijektive holomorphe Abbildung von D auf sicht selbst ist, die 0 mit w vertauscht. Weiterhin gilt |F (z)| = 1 für alle |z| = 1. Hinweis: Bestimmen Sie F ◦ F . R1 3) Zeigen Sie lim r→∞ 0 re(x 2 −1)r 2 4) Für t ∈ R zeige man die Formel R∞ −(x+it)2 e dx −∞ −x2 /4α −ixt R R e e dx = 0. = √ dx = 2 παe R∞ −x2 e dx −∞ −αt2 und gebe damit einen Beweis für (α > 0 und t ∈ R).