Funktionentheorie I - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. W. Kaballo
Dortmund, 28.4.2016
Funktionentheorie I
3. Übungsblatt, SoSe 2016
1)
a) Seien G ⊆ C ein Gebiet und f : G → R komplex differenzierbar. Zeigen Sie,
dass f konstant ist.
b) Drücken Sie ∆ =
2)
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
durch
∂
∂z
und
∂
∂z
aus.
w−z
a) Seien z, w zwei komplexe Zahlen mit zw 6= 1. Zeigen Sie | 1−wz
| < 1 für |z| < 1
w−z
| = 1 für |z| = 1 oder |w| = 1.
und |w| < 1 sowie | 1−wz
Hinweis: Warum kann man z als reell annehmen? Es reicht dann aus (r −w)(r −
w) ≤ (1 − rw)(1 − rw) zu zeigen, wobei Gleichheit für geeignete r und |w| gilt.
b) Zeigen Sie, dass für ein festes w ∈ D := {z ∈ C : |z| < 1} die Abbildung
w−z
F : z 7→ 1−wz
eine bijektive holomorphe Abbildung von D auf sicht selbst ist,
die 0 mit w vertauscht. Weiterhin gilt |F (z)| = 1 für alle |z| = 1.
Hinweis: Bestimmen Sie F ◦ F .
R1
3) Zeigen Sie lim
r→∞ 0
re(x
2 −1)r 2
4) Für t ∈ R zeige man
die Formel
R∞ −(x+it)2
e
dx
−∞
−x2 /4α −ixt
R
R
e
e
dx = 0.
=
√
dx = 2 παe
R∞ −x2
e dx
−∞
−αt2
und gebe damit einen Beweis für
(α > 0 und t ∈ R).