Dienstag, 07.03.2017, 10.00 Uhr, Raum Y27 H25 Abgabe

Funktionentheorie
FS 2017
Übungsblatt 3
Ausgabe: Dienstag, 07.03.2017, 10.00 Uhr, Raum Y27 H25
Abgabe: Bis Montag, 13.03.2017, 10.00 Uhr (Briefkästen der Assistenten im Stockwerk K)
Aufgabe 1 (Wirtingerableitung) Seien U, V ⊂ C offene Teilmengen in C und seien
f : U → V sowie g : V → C (total) reell differenzierbar. Weiterhin sei I ⊂ R ein Intervall
in R und ϕ : I → U differenzierbar. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die
Wirtingerableitung:
(i) Die Abbildungen
∂
∂z
und
∂
∂ z̄
sind C-linear.
(ii) Die Abbildungen
∂
∂z
und
∂
∂ z̄
erfüllen die Leibnizregel.
(iii)
∂
∂z f
=
∂ ¯
∂ z̄ f .
(iv)
∂
∂z z
=
∂
∂ z̄ z̄
= 1,
∂
∂z z̄
∂
∂ z̄ z
=
= 0.
(v) Sei f zweimal stetig reell differenzierbar. Dann gilt
∂2f
1 ∂2f
∂2f
=
+ 2 .
∂z∂ z̄
4 ∂x2
∂y
Bemerkung: Die Regel gilt bereits, falls f zweimal (total) reell differenzierbar ist 1
(d.h., falls alle ersten partiellen Ableitungen von f (total) reell differenzierbar sind).
(vi)
∂(g◦f )
∂z
=
∂g
∂w
(vii)
∂(f ◦ϕ)
∂t
=
∂
∂z f
·
∂f
∂z
·
+
dϕ
dt
∂g
∂ w̄
+
·
∂
∂ z̄ f
∂ f¯
∂z .
·
dϕ̄
dt .
Sei T : C → C eine
Abbildung. Bezüglich der Basis B = (1, i) sei
R-lineare
a b
T durch die Matrix MB (T ) =
mit Zahlen a, b, c, d ∈ R dargestellt. Zeigen Sie,
c d
dass folgende Aussagen äquivalent sind:
Aufgabe 2
(i) T ist C-linear.
(ii) Es gilt T (i) = iT (1).
(iii) Es gilt a = d und b = −c.
(iv) Für beliebiges z ∈ C gilt T (z) = (a + ic)z.
1
Dies folgt beispielsweise mit Hilfe von Aufgabe 17, Kapitel VII.5, Analysis 2”, Amann/Escher oder
”
Satz 3.3, Kapitel 3, Differential- und Integralrechnung II.”, Grauert/Lieb.
”
Aufgabe 3
Zeigen Sie:
(i) Die Reihe
∞
X
(−1)ν
√
ν+1
ν=0
konvergiert, aber ihr Cauchy-Quadrat divergiert.
(ii) Die Reihe
∞
X
(−1)ν
ν=0
z+ν
ist in C \ Z≤0 lokal gleichmässig, aber nicht normal konvergent.
Aufgabe 4 (Quotientenkriterium für den Konvergenzradius) Beweisen Sie die folgende
Aussage: Sei
∞
X
aν (z − z0 )ν
ν=0
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, Entwicklungspunkt z0 ∈ C und Koeffizienten
aν ∈ C, ν ∈ N ∪ {0}. Ist aν 6= 0 für fast alle ν ∈ N ∪ {0}, so gilt
aν aν .
lim lim ≤ R ≤ ν→∞
aν+1 ν→∞ aν+1