Blatt 10

Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende des Ingenieurwesens
und der Informatik
Wintersemester 2015/16
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. S. Bartels, Dipl.-Math. P. Schön
Aufgabenblatt 10
Aufgabe 1
(3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Funktion f : R → R, x 7→ x2 stetig ist im Sinne der ε-δ-Definition der
Stetigkeit, d.h. für alle x0 ∈ R und ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
gilt (siehe Definition 5.2).
Aufgabe 2
(3 Punkte)
(a) Sei I = R und f : I → R definiert durch f (x) = x2 . Zeigen Sie, dass f in allen Punkten
x0 ∈ I differenzierbar ist, das heißt zeigen Sie, dass für jedes x0 ∈ I ein a ∈ R existiert, so dass
f (x) − f (x0 )
=a
limx→x0
x − x0
gilt. Geben Sie eine Formel für die Ableitung an.
(b) Beweisen Sie dieselbe Aussage für I = (0, ∞) und f (x) = x1/2 .
Hinweis: Verwenden Sie eine binomische Formel.
Aufgabe 3
(3 Punkte)
(a) Sei f : I 7→ R differenzierbar in x0 ∈ I. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Gilt
f 0 (x0 ) = 0, so existiert für jedes n ∈ N ein xn ∈ I \ {x0 } mit |xn − x0 | < n1 und f (xn ) = f (x0 ).
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die Umkehrung der obigen Implikation.
Aufgabe 4
(3 Punkte)
(a) Seien x ∈ [0, 1) eine reelle Zahl und n ∈ N. Zeigen Sie mittels einer Intervallschachtelung,
dass Zahlen b1 , . . . , bn ∈ {0, 1} existieren, mit
n
X
bk 2−k ≤ 2−n .
x −
k=1
(b) Folgern Sie, dass für jede reelle Zahl x ∈ R eine Folge qn ⊂ Q rationaler Zahlen existiert, so
dass
qn → x für n → ∞.
(c) Angenommen Sie verwenden zum Speichern einer reellen Zahl x ∈ [0, 1) einen Datentyp mit
32 Bit Speicherbedarf. Ein Bit kann entweder den Wert true oder false annehmen. Geben
Sie an, mit welcher Genauigkeit Sie x abspeichern können.
Abgabe: Montag, 18.01.2016 vor der Vorlesung.