Ubungsblatt 6 zur Vorlesung Analysis I - Ruhr

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Übungsblatt 6 zur Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Holger Dette
Dominik Tomecki
WS 2015/2016
Abgabe bis Montag, den 07.12.15 um 10:00 in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Es sei (an )n∈N eine reelle Folge. Beweisen oder widerlegen Sie:
i) Gilt |an+1 − an | ≤ (n + 1)−1 für alle n ∈ N, so konvergiert an .
ii) Gilt |an+1 − an | ≤ 2−n für alle n ∈ N, so konvergiert an .
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Es sei (an )n∈N eine reelle Folge und H die Menge ihrer Häufungswerte, wobei wir H 6= ∅ annehmen.
Außerdem sei (bn )n∈N eine Folge derart, dass bn ∈ H für alle n ∈ N gilt. Beweisen oder widerlegen Sie:
i) Ist x ∈ R ein Häufungswert von bn , dann ist x ∈ H.
ii) Es gibt eine reelle Folge (cn )n∈N , deren Häufungswerte genau die rationalen Zahlen sind.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Es sei (an )n∈N eine reelle Folge. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) an ist Cauchy-Folge.
ii) Für alle streng monoton steigenden Funktionen m, k : N → N gilt lim (am(n) − ak(n) ) = 0.
n→∞
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Es sei (an )n∈N eine reelle Folge. Für i = 1, . . . , m sei bi : N → N eine streng monotone Funktion und
hi ∈ R eine reelle Zahl. Außerdem gelte:
m
S
i)
bi (N) = N.
i=1
ii) Für alle i = 1, . . . , m ist lim abi (n) = hi .
n→∞
Beweisen Sie, das dann die Menge der Häufungswerte von an durch {hi | i = 1, . . . , m} gegeben ist.
B Hinweis: Die Zettel können in Gruppen von bis zu drei Studenten abgegeben werden. Verwenden Sie
für jede Aufgabe ein eigenes Blatt und tackern ggf. mehrseitige Lösungen einer einzelnen Aufgabe zusammen. Notieren Sie außerdem auf jedem Zettel die Namen und Matrikelnummern aller Beteiligten, sowie die
Nummer der Übungsgruppe. Dort erfolgt dann die Rückgabe der Zettel.
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