MGI - Übungsblatt 3 [Abgabe am Donnerstag, 16. November, nach

MGI - Übungsblatt 3 [Abgabe am Donnerstag, 16. November, nach der Vorlesung. Alle Aufgaben sind
Pflichtaufgaben.]
Aufgabe 15 (Mengenalgebraische Operationen).
Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}.
1. Bestimmen Sie A ∪ B, A ∪ C, B ∪ B.
2. Bestimmen Sie A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, B ∩ B.
3. Bestimmen Sie A − B, C − A, A − C, B − C, B − B.
4. Bestimmen Sie schrittweise (also zuerst die jeweilige Menge in den Klammern)
(A ∪ B) ∪ C, A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∩ C).
5. Bestimmen Sie schrittweise
(A ∪ B ∪ C) − (A ∪ B) und
((A ∪ B ∪ C) − A) ∩ ((A ∪ B ∪ C) − B)
Aufgabe 16 (Einfache mengenalgebraische Aussagen).
1. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∩ B) ⊆ A ⊆ (A ∪ B)
2. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
3. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind (also das Gleiche bedeuten).1
(a) A ⊆ B
(b) A ∩ B = A
(c) A ∪ B = B
Aufgabe 17 (Grundlegende mengenalgebraische Aussagen).
Seien a, b, c, d Mengen und a, b ⊆ d. Zeigen (=Beweisen) sie die folgenden Aussagen:
1. (a ∩ ac ) = ∅
2. (a ∪ b)c = ac ∩ bc
3. (a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)
Schauen Sie ruhig auch in die Vorlesungsunterlagen, da wird (und wurde Freitag in der Vorlesung) etwas
sehr ähnliches gemacht.
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Hinweis zur Vorgehensweise: Um eine Äquivalenz (Symbol: ⇔, manchmal auch andere Zeichen, z.B. ≡) zu zeigen, z.B.
die zwischen der ersten und der zweiten Aussage, müssen sie zwei Richtungen untersuchen: zunächst zeigen Sie, dass aus der
ersten Aussage die zweite Aussage folgt (Implikation, Symbol ⇒) und dann, dass aus der zweiten Aussage die erste folgt, also
(a) ⇒ (b) und (b) ⇒ (a). Zusammen folgt daraus dann (a) ⇔ (b).
Um nun zu zeigen, dass drei Aussagen jeweils zu einander äquivalent sind, also dass (a) ⇔ (b), (a) ⇔ (c) und (b) ⇔ (c),
bzw. die 6 dem entsprechenden Implikationen gelten, genügt es natürlich zu zeigen, dass (a) ⇔ (b) und (b) ⇔ (c) gelten. Das
ist klar, denn wegen der ersten Äquivalenz (die uns erlaubt, (a) mit (b) semantisch gleichzusetzen) gilt mit dem Beweis der
zweiten natürlich auch, dass (a) zu (c) äquivalent ist. Genau untersuchen werden wir dies im Rahmen der Logik.
Es gibt noch eine weitere Variante, die logisch gleichbedeutend ist. Man kann auch einen geschlossenen Kreis von Implikationen beweisen, z.B. den folgenden: (a) ⇒ (b), (b) ⇒ (c), (c) ⇒ (a). Auch diesen Beweisweg können Sie wählen.
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