Grundbegriffe der Mathematik WS 2010/2011 5. Übungsblatt 36. (a

Grundbegriffe der Mathematik
WS 2010/2011
5. Übungsblatt
36. (a) Zeigen Sie mit kombinatorischen Argumenten die Identität:
3n
n
n
= n3 + 3
+ 6n
3
3
2
(b) Beweisen Sie für alle n ≥ 0 die Gleichung
n X
n i
3 = 4n .
i
i=0
37. Beweisen Sie rechnerisch und durch kombinatorische Überlegungen: Für alle 1 ≤ k ≤ r ≤ n
gilt die Beziehung
n
r
n n−k
=
.
r
k
k
r−k
38. Beweisen Sie durch kombinatorische Überlegungen: Für alle n ≥ 1 gilt die Beziehung
2n + 2
2n
2n
2n
=
+2
+
.
n+1
n+1
n
n−1
39. Zeigen Sie, dass für alle positiven ganzen Zahlen n die Beziehung
n
X
k=1
k2
1
1
1
= −
+ 3k + 2
2 n+2
gilt.
40. Man beweise für alle n ∈ N:
n Y
1−
k=2
2
k(k + 1)
1
=
3
2
1+
n
41. Man beweise für alle n ∈ N, n ≥ 3 :
n X
s
s=0
3
n+1
=
4
42. Zeigen Sie, dass 7n − 2n für alle n ∈ N durch 5 teilbar ist.
43. Für welche x ∈ R gilt:
(a)
1
|x−2|
>
1
1+|x−1|
(b)
|x|−1
x2 −1
≥
1
2
(c)
x+4
2x−3
> x+4