Blatt 7 - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. H. M. Möller
PD Dr. Maria Charina, Dipl.-Math. K. Siemko
Dortmund, 19.11.2010
Mathematik I für Informatiker
7. Übung
Abgabe: Bis 29. November, 12 Uhr, in den Briefkästen vor der Pförtnerloge im Mathetower.
Nur die Aufgaben 26 und 27 sind abgabepflichtig und werden bewertet.
Aufgabe 25
Es gelte
ai−1 x + bi−1 y = xi−1 ,
ai x + bi y = xi .
Definiere xi+1 := xi−1 − qi xi , ai+1 := ai−1 − qi ai und bi+1 := bi−1 − qi bi mit qi := bxi+1 /xi c,
i ∈ N.
Beweisen Sie, dass
(i) ai+1 x + bi+1 y = xi+1 ,
(ii) ai bi+1 − bi ai+1 = − (ai−1 bi − bi−1 ai ) ,
gilt.
Aufgabe 26 (6+6 Punkte) Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus
(i) ggT(3542, 1071)
(ii) ggT(1872, 1209)
und jeweils Zahlen a, b ∈ Z mit ax + by = ggT(x, y).
Aufgabe 27 (2+3+3)
(i) Beweisen Sie, dass 10k − 1 für jedes k ∈ N durch 9 teilbar ist.
(ii) Sei ϕ9 : Z → Z9 definiert durch
ϕ9 (z) := z mod 9
und die Dezimaldarstellung von a ∈ N0 gegeben durch
a = a0 + a1 · 10 + . . . + as · 10s ,
a0 , . . . , as ∈ {0, . . . , 9},
s ∈ N0 .
Beweisen Sie für die Quersumme Q(a) := a0 + . . . + as , dass ϕ9 (Q(a)) = ϕ9 (a) gilt.
(iii) Für Q(a) aus (ii) definiere man rekursiv
Q1 (a) := Q(a) und Qk (a) := Q ◦ Qk−1 (a),
Beweisen Sie, dass es K ∈ N existiert, so dass
Qk (a) ∈ {0, 1, . . . , 9} für alle k ≥ K.
k ∈ N.
Aufgabe 28
(i) Beweisen Sie, dass ϕ9 aus Aufgabe 27 ein Ringepimorphismus zwischen (Z, +, ·) und
(Z9 , +9 , ·9 ) ist.
(ii) Beweisen Sie, dass a ∈ N genau dann durch 9 teilbar ist, wenn Q(a) aus Aufgabe 27
durch 9 teilbar ist.