„Elementarmathematik“

Prof. Dr. Duco van Straten
M. Pauly
2. Übung zur Vorlesung
„Elementarmathematik“
im Wintersemester 15/16
Aufgabe 1:
Ein Obsthändler stapelt seine Orangen nach folgendem Mustern zu Tetraedern:
Die Anzahl Orangen, die er für einen Tetradeder mit Kantenlänge n benötigt, bezeichnen wir
als n-te Tetraederzahl tn .
(a) Berechnen Sie die ersten fünf Tetraederzahlen.
(b) Wo finden Sie diese Zahlen im Pascalschen Dreieck?
(c) Stellen Sie eine Formel für die n-te Tetraederzahl auf und beweisen Sie diese.
Aufgabe 2:
Es gilt
1+3
1+3+5
1
=
=
.
3
5+7
7 + 9 + 11
(a) Wie könnte das weitergehen? Stellen Sie eine allgemeine Formel auf!
(b) Beweisen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 3:
Sei n ∈ N. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
(a) Die natürliche Zahl 72n − 2n ist durch 47 teilbar.
(b) Die natürliche Zahl 4n + 15n − 1 ist durch 9 teilbar.
(c) Die natürliche Zahl 5n + 7 ist durch 4 teilbar.
Aufgabe 4:
(a) Zeigen Sie: Teilt man eine Quadratzahl durch 7, so bleibt niemals der Rest 3, 5 oder 6.
(b) Wenn zur Zeit 13:37 Uhr ist, wie viel Uhr ist es in 100000 Minuten?
(c) Wenn Sie 1997 an einem Montag Geburtstag hatten, an welchem Wochentag haben Sie
im Jahre 2015 Geburtstag.
Die Lösungen vor bis zu 3 der ersten 4 Aufgaben sind bis Freitag den 6.11.2015 12 Uhr in den
beschrifteten Kästen vor der Fachschaft abzugeben.
Die nachfolgenden Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern dienen zum selbst Studium.
Aufgabe 5:
(a) Multiplizieren Sie die Zahl 142857 mit 1,2,3,4,5,6,7 und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Wie gehts es weiter?
(b) Was passiert mit der Zahl 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459?
Aufgabe 6:
Schreiben Sie die Zahlen von 1 bis 9 hintereinander. Streichen Sie 3 mal in Folge entweder die
Zahl ganz links oder ganz rechts (z.B. 1,9,8 oder 1,2,31 etc.). Addieren Sie die 3 gestrichenen
Zahlen und Teilen Sie das Ergebnis durch 6 (wieso teilt 6 diese Zahl?), die 4 liegt nun an
der Stelle ihres Ergebnisses. Die funktioniert auch für die ersten die Zahlen von 1 bis 14, das
streichen von 4 Zahlen, das teilen durch 10 und die 5 steht dann an der richtigen Stelle. Wie
verallgemeinert man dies?
Aufgabe 7:
Berechnen Sie für einige natürliche Zahlen die Summe
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1·2 2·3 3·4 4·5
n(n + 1)
und stellen Sie dann eine Vermutung über ihre Summenformel auf. Beweisen Sie Ihre Vermutung.
Aufgabe 8:
10 Piraten haben einen Schatz erbeutet, der aus 100 identischen Goldstücken besteht. Die
Piraten wollen diesen Schatz aufteilen. Der älteste schlägt dazu folgendes Verfahren vor:
„Der jüngste von euch darf eine Verteilung vorschlagen, also wer wie viele Goldstücke erhalten
soll. Dann stimmen wir darüber ab. Wenn die Hälfte oder mehr dafür sind, wird es so gemacht.
Ansonsten werfen wir ihn über Bord. Dann macht der nächstjüngste einen Vorschlag usw. bis
einer angenommen wird.“
Gehen Sie davon aus, dass die Piraten sich alle rational verhalten, extrem schlau sind (und
dies auch von ihren Kollegen erwarten) und die folgenden Ziele in dieser Reihenfolge verfolgen:
1. Überleben: Keiner will über Bord geworfen werden.
2. Geld: Wenn man bei mehreren Handlungsalternativen überlebt, so wählt man die, bei
der man am meisten Geld kriegt.
3. Spaß: Wenn es finanziell keinen Unterschied macht, schauen sie gerne zu, wie jemand
anders über Bord geworfen wird.
(a) Wie geht die Verteilung unter diesen Voraussetzungen aus?
(b) Was ändert sich, wenn man Ziel 3 ersetzt durch „Gnade: Wenn es sie kein Geld kostet,
lassen sie die anderen überleben.“?