Relationen - Mathematik-Vorkurs für Informatiker

Christian Eisentraut & Julia Krämer
www.vorkurs-mathematik-informatik.de
Mathematik-Vorkurs für Informatiker
Relationen und Funktionen
Hinweis: Auf diesem Übungsblatt müssen Sie keine Baumbeweise mehr führen. Wir
verlangen bei Beweisen nur Textbeweise!
Aufgabe 1. (4 + 4 = 8 Punkte)
(a) Beweisen Sie:
√
√
3
7 ist irrational. Wo geht der analoge Beweis für 3 8 formal schief?
(b) Wir schreiben eine vierstellige ganze Zahl z als (z1 z2 z3 z4 ). Beweisen Sie: Eine ganze
Zahl z ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Summe z1 + z2 + z3 + z4 durch 3
teilbar ist.
Tipps:
√
• Schauen Sie sich zunächst den Beweis, dass 2 irrational ist nochmals an (Skript
Seite 121, Aufgabe 78).
• Es kann helfen, z als eine Summe wie folgt zu schreiben: z = a·z1 +b·z2 +c·z3 +d·z4
mit Zahlen a, b, c, d aus Z, die Sie noch bestimmen müssen (Tipp: Dezimalsystem).
Aufgabe 2. (4 + 4 = 8 Punkte)
(a) Zeigen Sie: R := {(a, b) ∈ Z | ∃k ∈ Z : a − b = 2 · k} ist eine Äquivalenzrelation.
Hinweis: An einer Stelle im Beweis müssen Sie 0 in der Form −b + b für ein b ∈ N
sinnvoll addieren.
(b) Beweisen Sie, dass S := {((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ∈ Z2 | x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2 } eine Ordnungsrelation ist. Sie dürfen dabei im Beweis annehmen, dass ≤ auf den ganzen
Zahlen eine Ordnungsrelation ist.
Definition 1 (S) ei X eine beliebige Menge und f : X → X eine Abbildung (totale
Funkton).
(a) f heißt idempotent, wenn (f ◦ f )(x) = f (x) für alle x ∈ X gilt.
(b) f heißt Involution, wenn (f ◦f )(x) = x für alle x ∈ X und f (x) ̸= x für mindestens
ein x ∈ X
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Beispiel
Wir geben Ihnen Beispiele für Funktionen mit diesen Eigenschaften:
(a) Beispiele für idempotente Funktionen sind f1 : R → R, f1 (x) = x, f2 : R →
R, f2 (x) = |x| und f3 : R → R, f3 (x) = c.
(b) Beispiele für Involutionen sind g1 : R → R, g1 (x) = −x und g2 : R \ {0} →
R \ {0}, g2 (x) = x1
(c) Es wird bewiesen, dass f1 tatsächlich idempotent ist. Sei ẋ ∈ R beliebig. Dann
gilt:
(f ◦ f )(ẋ) Definition ◦
= f (f (ẋ))
Definition f
= f (ẋ)
Definition f
= x
Definition f
= f (ẋ)
Damit ist die Behauptung gezeigt. □
Aufgabe 3. (2 + 2 + 4 = 8 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f2 und f3 aus Beispiel ??(a) tatsächlich idempotent
sind.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktionen g1 und g2 aus Beispiel ??(b) tatsächlich Involutionen sind.
(c) Beweisen Sie: Jede Involution ist bijektiv.
Hinweis: Ein Satz, der in den Übungsaufgaben bewiesen wird, kann Ihnen hier
helfen.
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