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Probeklausur (Arithmetik)
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Hilfsmittel sind nicht erlaubt.
Aufgabe 1:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 die Gültigkeit
folgender Gleichungen:
n
∑ 2 ⋅k
(a)
= n(n+1).
(2 P.)
k =0
n
∑2
(b)
n
⋅ 3k = 2n-1(3n+1-1).
(3 P.)
k =0
n
∑ (-1)
(c)
k -1
⋅k 2 = (−1) n −1 ⋅
k =1
n(n + 1)
.
2
(3 P.)
Aufgabe 2:
Seien a, b, k, m natürliche Zahlen mit ak = bm und ggT(k,m) = 1. Beweisen Sie die Existenz
einer natürlichen Zahl n mit a = nm und b = nk.
(3 P.)
Aufgabe 3:
Sei m eine ungerade natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n die
Gleichung ggT(2m-1,2n+1) = 1 gilt.
(4 P.)
Aufgabe 4:
Beweisen Sie: Unter n natürlichen Zahlen ist entweder eine dieser Zahlen durch n teilbar oder
aber die Summe zweier oder mehrerer dieser Zahlen.
(3 P.)
Aufgabe 5:
Seien 1 ≤ k ≤ n natürliche Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie die Gültigkeit folgender
Gleichungen:
(a)
 n + 1  n 

 =  .
 k − 1  k 
(3 P.)
(b)
 n + 3   n  n3 + 6n 2 + 11n + 6
.

 =  ⋅ 3
2
 k + 3   k  k + 6k + 11k + 6
(3 P.)
Aufgabe 6:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 und alle
nichtnegativen reellen Zahlen ak (k ≤ n) die Gültigkeit folgender Ungleichungen:
n
1
(a)
≥ n.
(3 P.)
∑
k
k =1
n
(b)
∏ (1 + ak ) ≥ 1+
k =1
n
(c)
∑ ( 2k − 1)
k =1
2
≤
n
∑a
.
(3 P.)
2n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2n − 1)
.
3
(3 P.)
k =1
k
Aufgabe 7:
Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kann man 7! = 5040 verschiedene siebenstellige Zahlen,
deren Ziffern alle verschieden sind, bilden. Beweisen Sie, dass keine dieser Zahlen eine
andere dieser Zahlen teilt.
(3 P.)
Aufgabe 8:
Seien m, n natürliche Zahlen und p eine Primzahl. Beweisen Sie, dass mp-np entweder zu p
(4 P.)
teilerfremd oder durch p2 teilbar ist.