Probeklausur zur Vorlesung „Arithmetik“ Zum Bestehen der Klausur

Probeklausur zur Vorlesung „Arithmetik“ Zum Bestehen der Klausur wären 16
Punkte erforderlich (zweistündig):
Aufgabe 1:
Beweisen Sie, den sogenannten kleinen Satz von Fermat:
Für alle natürlichen Zahlen n und alle Primzahlen p ≥ 2 ist der Ausdruck np – n durch
p teilbar.
(6 P.)
Aufgabe 2:
Beweisen Sie:
(a)
Für alle natürlichen Zahlen k ≤ n gilt
n
 n + 1
 = (n+1)⋅   .
(n+1-k)⋅ 
 k 
k 
(b)
Für alle natürlichen Zahlen k ≤ n gilt
 n  n +1  n + 1
=
 ⋅
.
 k  k +1  k + 1
(4 P.)
(4 P.)
Aufgabe 3:
(a)
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1
die Gültigkeit folgender Gleichung:
n
∑ 2k -1 = n .
2
(4 P.)
k =1
(b)
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3
die Gültigkeit folgender Ungleichung:
2n+1 < 2n.
(4 P.)
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen a, b, die die Gleichung a2 + b2 = 2ab erfüllen!(3 P.)
Aufgabe 5:
Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kann man 7! = 5040 verschiedene siebenstellige
Zahlen, deren Ziffern alle verschieden sind, bilden. Beweisen Sie, dass keine dieser
Zahlen eine andere dieser Zahlen teilt.
(6 P.)
Aufgabe 6:
Seien k ≤ n natürliche Zahlen mit ggT(k,n) = 1. Beweisen Sie, dass n ein Teiler von
n
  ist.
(5 P.)
k 
Aufgabe 7:
Sei n ≥ 1 eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie die Existenz zweier natürlicher
Zahlen k und t mit k+n ≤ t, so dass keine der Zahlen k, k+1, k+2, ..., t eine Primzahl
ist.
(4 P.)