5040 verschiedene siebenstellige Zahlen, deren Ziffern alle
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Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kann man 7! = 5040 verschiedene siebenstellige Zahlen,
deren Ziffern alle verschieden sind, bilden. Es ist zu beweisen, dass keine dieser Zahlen eine
andere dieser Zahlen teilt.
Lösung:
Sei n irgendeine siebenstellige Zahl, die durch Permutation der Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
entstanden ist, dann gilt μ9 (n) = μ9 (Q(n)) = μ9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = μ 9 (28) = 1 .
a 7654321
a
Seien a > b verschiedene dieser Zahlen, dann gilt: ≤
< 7 und ∉ ` .
b 1234567
b
a
a
a
Angenommen ∈ ` ⇒ ∈ {2,3, 4,5, 6} . Setzt man t = , dann folgt daraus
b
b
b
a = b ⋅ t ⇒ μ9 (a) = μ9 (b ⋅ t) = μ9 (μ9 (b) ⋅μ9 (t)) = μ9 (1 ⋅ t) = t > 1 .
Das steht im Widerspruch zu μ9 (n) = 1 .
a
Die Division
ist für a > b also undurchführbar.
b
Was zu beweisen war.
