Übungsblatt 7

Dr. Markus Weimar
Max Kontak, M. Sc.
Analysis I — Übungsblatt 7
Wintersemester 2016/17
Abgabe am 01.12.2016 zu Beginn der Vorlesung
Aufgabe 7.1 (1+1+1+1 Punkte)
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib mit a, b ∈ R dar.
(a) (2 + 3i) · (5 − 7i),
(b) (3 + 4i)3 ,
1
für z = x + iy mit x, y ∈ R und xy 6= 0,
z̄
1−i
(d)
.
1+i
(c) z +
Aufgabe 7.2 (1+1+1+2 Punkte)
Beweisen Sie für z ∈ C die folgenden Aussagen aus Proposition 2.3.4 und Satz 2.3.8:
(a) (z̄) = z,
1
1
(b)
= für z 6= 0,
z
z̄
(c) zz̄ = Re(z)2 + Im(z)2 , insbesondere ist dieser Wert reell und nicht-negativ.
(d) |z̄| = |z| = |−z|.
Aufgabe 7.3 (2 Punkte)
Zeigen Sie: Für z, w ∈ C gilt:
| z + w |2 + | z − w |2 = 2 | z |2 + | w |2 .
Bemerkung: Man nennt diese Gleichung die „Parallelogrammgleichung“.
Aufgabe 7.4 (2 Punkte)
Bestimmen Sie die Menge aller z = x + iy ∈ C, welche die Gleichung
(z + z̄)2 − (z − z̄)2 = 16
erfüllen.
Skizzieren Sie diese Menge in der Gaußschen Zahlenebene.
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Aufgabe 7.5 (3 Punkte)
Beweisen Sie Folgerung 2.3.22 (Fundamentalsatz der Algebra):
Für n ∈ N sei p Polynom vom Grad n mit Leitkoeffizient an . Dann besitzt p genau n Nullstellen (inkl.
Vielfachheiten) z1 , . . . , zn ∈ C und es gilt
n
p ( z ) = a n ∏ ( z − z k ).
k =1
Hinweis: Nutzen Sie vollständige Induktion über n und Satz 2.3.21.
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