MGI - Übungsblatt 4. Pflichtabgabe am 14.11. nach der Vorlesung

MGI - Übungsblatt 4. Pflichtabgabe am 14.11. nach der Vorlesung. Gruppenarbeit (bis zu vier Personen) ist
erlaubt, aber es ist für sie persönlich wichtig, die Aufgaben auch selbst zu können und zu verstehen (denken sie
hin und wieder an die Klausur!). Übrigens: All zu schlechte Lösungen werden wir nicht werten!
Aufgabe 19 (Mengenalgebraische Operationen).
Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}.
1. Bestimmen Sie A ∪ B, A ∪ C, B ∪ B.
2. Bestimmen Sie A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, B ∩ B.
3. Bestimmen Sie A − B, C − A, A − C, B − C, B − B.
4. Bestimmen Sie schrittweise (also zuerst die jeweilige Menge in den Klammern)
(A ∪ B) ∪ C, A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∩ C).
5. Bestimmen Sie schrittweise
(A ∪ B ∪ C) − (A ∪ B) und
((A ∪ B ∪ C) − A) ∩ ((A ∪ B ∪ C) − B)
Aufgabe 20 (Einfache mengenalgebraische Aussagen).
1. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∩ B) ⊆ A ⊆ (A ∪ B)
2. Beweisen oder widerlegen Sie: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
3. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind (also das Gleiche bedeuten).1
(a) A ⊆ B
(b) A ∩ B = A
(c) A ∪ B = B
Aufgabe 21 (Grundlegende mengenalgebraische Aussagen).
Seien a, b, c, d Mengen und a, b ⊆ d. Zeigen (=Beweisen) sie die folgenden Aussagen:
1. (a ∩ ac ) = ∅
2. (a ∪ b)c = ac ∩ bc
3. (a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)
Aufgabe 22 (Beispiele für Potenzmengen).
Bestimmen Sie die Potenzmengen von ∅, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {∅}. Zählen Sie jeweils die Elemente der Potenzmengen.
Aufgabe 23 (Anzahl von Elementen in endlichen Potenzmengen).
Wieviele Elemente hat P({1, 2, . . . , n}), n ∈ N, n ≥ 1?
1 Hinweis zur Vorgehensweise: Um eine Äquivalenz (Symbol: ⇔, manchmal auch andere Zeichen, z.B. ≡) zu zeigen, z.B. die zwischen
der ersten und der zweiten Aussage, müssen sie zwei Richtungen untersuchen: zunächst zeigen Sie, dass aus der ersten Aussage die zweite
Aussage folgt (Implikation, Symbol ⇒) und dann, dass aus der zweiten Aussage die erste folgt, also (a) ⇒ (b) und (b) ⇒ (a). Zusammen
folgt daraus dann (a) ⇔ (b).
Um nun zu zeigen, dass drei Aussagen jeweils zu einander äquivalent sind, also dass (a) ⇔ (b), (a) ⇔ (c) und (b) ⇔ (c), bzw. die 6
dem entsprechenden Implikationen gelten, genügt es natürlich zu zeigen, dass (a) ⇔ (b) und (b) ⇔ (c) gelten. Das ist klar, denn wegen der
ersten Äquivalenz (die uns erlaubt, (a) mit (b) semantisch gleichzusetzen) gilt mit dem Beweis der zweiten natürlich auch, dass (a) zu (c)
äquivalent ist. Genau untersuchen werden wir dies im Rahmen der Logik.
Es gibt noch eine weitere Variante, die logisch gleichbedeutend ist. Man kann auch einen geschlossenen Kreis von Implikationen beweisen,
z.B. den folgenden: (a) ⇒ (b), (b) ⇒ (c), (c) ⇒ (a). Auch diesen Beweisweg können Sie wählen.
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