MATHEMATIK Dr. Tobias Mai M.Sc. Felix Leid Übungen zur

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Dr. Tobias Mai
M.Sc. Felix Leid
Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie
Sommersemester 2017
Blatt 3
Abgabe: Donnerstag, 11.5.2017, 12:15 Uhr
in den Briefkästen im Untergeschoss von Gebäude E2 5
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Aufgabe 1 (10 Punkte). Sei ∅ =
6 Ω ⊆ C = R2 offen und sei f : Ω → C eine Funktion.
Zeigen Sie:
(a) Die Funktion f ist genau dann in einem Punkt z0 ∈ Ω reell (total) differenzierbar,
wenn Zahlen α, β ∈ C existieren mit
f (z0 + h) = f (z0 ) + αh + βh + o(|h|)
für h → 0.
In diesem Fall sind α und β eindeutig bestimmt und gegeben durch die PompeiuWirtinger-Ableitungen
∂f
1 ∂f
∂f
∂f
1 ∂f
∂f
α=
(z0 ) :=
(z0 ) − i (z0 )
und β =
(z0 ) :=
(z0 ) + i (z0 ) .
∂z
2 ∂x
∂y
∂z
2 ∂x
∂y
(b) Die Funktion f ist genau dann auf Ω holomorph, wenn f auf Ω reell differenzierbar
ist und gilt
∂f
(z0 ) = 0
für alle z0 ∈ Ω.
(1)
∂z
In diesem Fall ist f 0 (z0 ) = ∂f
(z ) für alle z0 ∈ Ω.
∂z 0
(c) Wie hängt die Bedingung (1) mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
zusammen?
Aufgabe 2 (10 Punkte + 5 Zusatzpunkte∗ ). Sei ∅ =
6 Ω ⊆ C offen. Zeigen Sie:
(a) Ist f : Ω → C eine in einem Punkt z0 ∈ Ω reell partiell differenzierbare Funktion,
so gilt
∂f
∂f
∂f
∂f
(z0 ) =
(z0 )
und
(z0 ) =
(z0 ).
∂z
∂z
∂z
∂z
(b) Sind f, g : Ω → C zwei in einem Punkt z0 ∈ Ω reell partiell differenzierbare Funktionen, so gilt
∂(f g)
∂g
∂f
(z0 ) = f (z0 ) (z0 ) +
(z0 )g(z0 ).
∂z
∂z
∂z
bitte wenden
(c)∗ Ist f : Ω → C eine in einem Punkt z0 ∈ Ω reell partiell differenzierbare Funktion, ferner Ω0 ⊆ C offen mit f (z0 ) ∈ Ω0 und g : Ω0 → C in f (z0 ) reell partiell
differenzierbar, dann gilt
∂g
∂f
∂g
∂f
∂(g ◦ f )
(z0 ) =
(f (z0 )) (z0 ) + (f (z0 )) (z0 ).
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
Wie lauten die zu (b) und (c) analogen Rechenregeln für die partielle Ableitung nach z ?
Aufgabe 3 (10 Punkte). Berechnen Sie die Pompeiu-Wirtinger-Ableitungen der folgenden Funktionen:
(a) f : C → C, z 7→ z n z m
für n, m ∈ N0
(b) f : C → C, z 7→ exp(z)
Hinweis: Hierbei bezeichnet exp : C → C die komplexe Exponentialfunktion; vgl.
Bemerkung 0.3 der Vorlesung. Sie dürfen (ohne Beweis) die aus der Analysis I bekannte Identität exp(z + w) = exp(z) exp(w) für z, w ∈ C benutzen.
Aufgabe 4 (10 Punkte). Sei ∅ =
6 Ω ⊂ C offen und z0 ∈ Ω. Zeigen Sie:
(a) Sind f, g : Ω → C an der Stelle z0 komplex differenzierbar, dann ist auch die
Funktion f · g : Ω → C, z 7→ f (z)g(z) an der Stelle z0 differenzierbar, und es gilt
(f · g)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g 0 (z0 ).
(b) Ist f : Ω → C an der Stelle z0 komplex differenzierbar und gilt f (z0 ) 6= 0, dann ist
1
an der Stelle z0 komplex differenauch die Funktion f1 : Ω\f −1 ({0}) → C, z 7→ f (z)
zierbar mit
1 0
f 0 (z0 )
(z0 ) = −
.
f
f (z0 )2
Hinweis: Benutzen Sie Lemma 1.11 der Vorlesung.
Aufgabe 5 (10 Punkte). Sei ∅ =
6 I ⊆ R ein Intervall und Ω ⊆ C offen. Weiter sei
ψ : I → C differenzierbar mit ψ(I) ⊂ Ω und f : Ω → C eine holomorphe Funktion. Zeigen
Sie, dass dann auch
ϕ : I → C, t 7→ f (ψ(t))
differenzierbar ist und dass für die Ableitung ϕ0 gilt
ϕ0 (t) = f 0 (ψ(t))ψ 0 (t)
für alle t ∈ I.