Aufgaben
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Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Kapitel 1 : Grundlagen der Mengenlehre 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 ................. . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe Mengenoperationen Direkte Produkte von Mengen Abbildungen von Mengen . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 8 10 Kapitel 2 : Reelle Zahlen. Ungleichungen und Beträge 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 3 : Finanzmathematik- arithmetische und geometrische Zahlenfolgen und ihre endlichen Reihen 3.1 .... . ........ ..... . . . . . . . . . . .. . . . . Die arithmetische Folge und Reihe 1 Konstante absolute Produktionszunahme 2 Lineare Abschreibung 3 Zinsrechnung ohne Zinseszins 4 . Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen Die geometrische Folge und ihre endliche Reihe . . . . 1 Konstanter relativer Produktionszuwachs . . . . . 2 . Geometrisch-degressive Abschreibung 3 . Zinseszinsrechnung bei einmaliger Einzahlung 4 Zinseszinsrechnung bei mehrmaligen Einzahlungen . 5 Tilgung einer Schuld in gleichen Jahresraten Rentenberechnung 6 Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Zinsgutschrift 7 Die unterjährige (vorschüssige) Rente Aufgaben . . . ......... 3.2 . . . 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 14 15 18 V1 Inhaltsverzeichnis Kapitel 4 : Allgemeine Zahlenfolgen und stetige Verzinsung 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Konvergente Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . (Unendliche) geometrische Reihen . . . . . . . . . . Die Eulersche Zahl e- stetige Verzinsung- stetiges Wachstum Irrationale Zahlen als Grenzwerte rationaler Zahlenfolgen . Rekursiv definierte Folgen und das Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 5 : Differentialrechnung bei Funktionen einer Vaziablen Darstellung von Funktionen einer Variablen . . . . . Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitungen einer Funktion .Grenzkostenfunktion . Die erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . Das Differential einer Funktion . . . . . . . . . . Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Definitionsbereich 2. Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 5.Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . 7 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion. . Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitung des natürlichen Logarithmus . . . . . Die Ableitung eines beliebigen Logarithmus . . . . . Die Ableitung der Exponentialfunktion . . . . . . . Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion . . . . Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . Die Elastizität und die logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . Die Taylorentwicklung Unbestimmte Ausdrücke .die Regel von de 1'Hospital . Unbestimmte Ausdrücke der Formen 0/0 ; W/CO ; - CO/W Unbestimmte Ausdrücke der Form ,,0 .( fCO) " . . . . Unbestimmte Ausdrücke der Form n oo - W " . . . . . Unbestimmte Ausdrücke der Form '0 ; lW; ooO " . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . 37 41 42 44 45 49 Inhaltsverzeichnis V11 Kapitel 6 : Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.6.2 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 6.7.5 6.7.6 6.8 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . 101 Die Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . 106 Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral . . . . 107 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion . . . . . . . . . . . 108 Spezielle Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . 109 Die Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . 109 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . 110 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . 111 Integrale über unbeschränkte Intervalle . . . . . . . . 111 Integrale über unbeschränkte Funktionen . . . . . . . 113 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . 114 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . 114 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität 114 Der Gesamtumsatz bei gestaffelten und stetigen Preissenkungenll6 Die Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . 118 119 Die Produzentenrente Kapitalwert eines Ertragsstromes 120 121 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 7: Funktionen von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetige Funktionen Partielle Ableitungen Das totale Differential Totale Differentiale höherer Ordnung .Taylorentwicklung Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen Richtungsableitungen und Gradient . . . . . . . . Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . Extremwerte ohne Nebenbedingungen und Sattelpunkte . Extremwerte unter einer Nebenbedingung Die Eliminationsmethode Die Methode von Lagrange Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 9 : Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . 9.1 n-dimensionale Vektoren . . . . . . . . . . . . . Kapitel 8 : Funktionen von mehreren Variablen 9.2 9.3 Darstellung von Geraden und Ebenen im iR3 Aufgaben . . . . . . ................... 150 155 155 161 163 V111 Inhaltsverzeichnis Kapitel 10: Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . 166 Kapitel 11 : Lineare Gleichungssysteme 11.1 11.2 11.3 11.4 . . . . . . . . 175 177 181 184 . . . . . . . . . 188 193 194 Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems Der Gaußsche Algorithmus . . . . . . . . . . . Lösung mit Hilfe der inversen Matrix . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 12 : Lineare Ungleichungen und lineare Programmierung 12.1 12.2 12.3 . . . 1 2 3. . 4 Lineare Programmierung bei zwei Variablen . . . Lineare Programmierung bei mehr als zwei Variablen Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungen häufig vorkommender Funktionen . . . . Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . Unbestimmte Integrale häufig vorkommender Funktionen Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 198 198 199 199 200
