Titel der Lehreinheit - CCB
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Mathematik 1 Titel der Lehreinheit Art der Lehreinheit Nummer im Studienplan Gehört zum Modul Fachsemester SWS Stunden Fachliche Zuordnung Studiengänge Zulassungsvoraussetzung Überprüfung des Lernfortschritts Leistungskontrolle Mathematik 1 Vorlesung mit Übungen 1.4 M-M-1 1. 3+1 15 x 3 Stunden Vorlesung 15 x 1 Stunde Übungen Mathematik B. Sc. Chemie B. Sc. Chemische Biologie keine Aktive Teilnahme an Vorlesungen und Übungen Klausur am Ende des Moduls Zielsetzungen Den Studierenden sollen die mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten vermittelt werden, die sie im Studium der Chemie (zu dem auch Lehrveranstaltungen der Physik gehören) benötigen, und es soll das für den Umgang mit mathematischem Stoff erforderliche Verständnis geweckt werden. Themenverzeichnis Komplexe Zahlen Lineare Algebra und analytische Geometrie: Vektoralgebra, Vektorräume und Koordinatendarstellung von Vektoren, Matrizen und Determinanten, lineare Gleichungssysteme, Skalarprodukt, euklidischer Vektorraum, Vektorprodukt, Spatprodukt, Ortsvektoren, Geraden und Ebenen. Grundlegendes über Abbildungen und Funktionen Zahlenfolgen, Grenzwerte von Funktionen Differentialrechnung für Funktionen von einer und mehreren Variablen: Differenzierbarkeit und Ableitung reeller Funktionen einer Variablen, Differentiationsregeln, Differenzierbarkeit und Ableitung von vektorwertigen Funktionen einer Variablen und von skalarwertigen und vektorwertigen Funktionen mehrerer Variablen, Anwendungen der Differentialrechnung, Differentialformen und vollständiges Differential. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen: Unbestimmtes und bestimmtes Integral, natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion, Integrationsregeln, Integration rationaler Funktionen. Kurvenintegral, konservative Vektorfelder, Potentialfunktionen Zusammenfassung der Lehrgegenstände Komplexe Zahlen: Einführung der komplexen Zahlen, Rechenoperationen, komplexe Zahlenebene, konjugiert komplexe Zahl, Polarkoordinaten, trigonometrische Darstellung und Exponentialdarstellung, Produkte, Quotienten, Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen in Polarkoordinatendarstellung. Lineare Algebra und analytische Geometrie: Vektorrechnung: Skalare und vektorielle Messgrößen, Veranschaulichung vektorieller Größen, Komponentendarstellung von Vektoren, Rechenoperationen und Regeln. Vektorräume: Linearkombinationen, lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basis eines Vektorraumes und Koordinatendarstellung von Vektoren. Begriff der Matrix, elementare Umformungen von Matrizen, lineare Gleichungssysteme und ihre Lösung nach dem Gaußschen Verfahren. Quadratische Matrizen und rekursive Definition der Determinante einer quadratischen Matrix unter Verwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes, Berechnung von Determinanten mit Hilfe elementarer Umformungen von Matrizen. Skalarprodukt im Raum und axiomatische Definition des Skalarproduktes in Vektorräumen, euklidische Vektorräume, Orthogonalität, Orthonormalbasis und Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren. Vektorprodukt, Spatprodukt und deren Berechnung mit Hilfe von Determinanten. Ortsvektoren, Parameterdarstellung von Geraden, Gleichung einer Ebene in Normalenform. Grundlegendes über Abbildungen und Funktionen: Abbildungsbegriff und Begriff der Funktion. Reellwertige Funktionen einer Variablen: Graph einer Funktion, Potenzfunktionen, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen. Vek torwertige Funktionen einer Variablen, Kurven und Parameterdarstellung von Kurven. Skalar- und vektorwertige Funktionen von mehreren Variablen (Skalar- und Vektorfelder) und ihre Veranschaulichung. Zahlenfolgen, Grenzwerte von Funktionen: Zahlenfolgen und ihre Konvergenz, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Rechnen mit Grenzwerten. Differentialrechnung für Funktionen von einer und mehreren Variablen: Differenzierbarkeit und Ableitung reeller Funktionen, Deutung der Ableitung als Steigung ihres Graphen, Begriff der Tangente, Bedeutung der Ableitung für die Definition physikalischer Größen, höhere Ableitungen. Differentiationsregeln, Komposition von Funktionen und ihre Ableitung (Kettenregel), Umkehrfunktionen und ihre Ableitung. Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen und der trigonometrischen Funktionen. Differenzierbarkeit und Ableitung vektorwertiger Funktionen einer Variablen, Tangente an eine Kurve, glatte Kurven. Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen: Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit, Differenzierbarkeit, partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von Schwarz, Gradientenfeld und Funktionalmatrix. Kettenregeln für Kompositionen von Skalarfeldern mit vektorwertigen Funktionen von einer oder mehreren Variablen. Anwendungen der Differentialrechnung: Implizit definierte Funktionen und implizites Differenzieren, Richtungsableitung und Tangentialebene, homogene Funktionen und der Satz von Euler, Mittelwertsatz der Differentialrechnung und Folgerungen, lokale und absolute Extrema, Bestimmung lokaler Extrema, Regeln von L?Hospital. Differentialformen und vollständiges Differential, exakte Differentialformen. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen: Stammfunktion und unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral und seine geometrische Interpretation als Flächeninhalt, Existenz der Stammfunktion einer stetigen Funktion. Natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen. Integrationsregeln: Linearität des Integrals, Regel der partiellen Integration, Substitutionsregel, Partialbruchzerlegung und Integration rationaler Funktionen. Uneigentliche Integrale. Kurvenintegral, konservative Vektorfelder, Potentialfunktionen: Kurvenintegral, Wegunabhängigkeit, konservative Vektorfelder, Potentialfunktionen und ihre Berechnung mit Hilfe von Kurvenintegralen oder durch unbestimmte Integration.
