Lineare Funktionen - Gymnasium "Am Thie"

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Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Extremwertaufgaben - Lösungsstrategie
1. Aufstellen der Hauptbedingung (HB)
In der Hauptbedingung steht eine Berechnungsformel für die Größe, die minimiert
oder maximiert werden soll. Die erste Frage die wir uns also bei diesen Aufgaben
stellen müssen ist: Was soll optimiert werden?
Beispiel: Soll die Fläche eines Rechtecks maximal werden, lautet die Hauptbedingung:
HB: A = f(a,b) = a · b  Maximum
Das Problem, welches wir jetzt haben ist: Unsere Funktion ist von mehr als einer
Variablen (im Bsp. von 2) abhängig. Das ändern wir im nächsten Schritt.
2. Aufstellen der Nebenbedingung (NB)
Wenn die HB mehr als eine Unbekannte enthält, müssen eine oder mehrere NBen
aufgestellt werden. Bei n Variablen in der HB müssen (n - 1) NBen aufgestellt
werden. Die NBen enthalten Zahlenwerte aus dem Text oder im Text angegebene
Funktionen.
Textbeispiel: Die Summe der beiden Seiten beträgt 50m.
ergibt die NB: 50 = a + b
3. Aufstellen der Zielfunktion (ZF) und deren 1. und 2. Ableitung
Durch Einsetzen der NBen in die HB können alle Unbekannten bis auf eine eliminiert
werden. Dazu stellen wir jede Nebenbedingung nach einer Variablen um und setzen
den gewonnenen Term in die Hauptbedingung ein.
Beispiel:
a = 50 – b 
ZF: A = f(b) = (50 – b) · b
Wir sehen, dass unsere Funktion nur noch von einer Variablen abhängig ist. Vor den
Ableitungen vereinfachen wir die ZF noch:
Beispiel:
ZF: A = f(b) = 50b – b2
Ab jetzt wird es eigentlich ganz einfach. Kompliziert ist meist nur das Finden der
Zielfunktion. Von der Zielfunktion wird nun die erste und zweite Ableitung gebildet.
4. Berechnung des Extremwertes
Wir gehen genauso vor als ob wir den Extrempunkt einer Funktion bestimmen.
a) notwendige Bedingung: f ‘(b) = 0
Die Nullstellen der ersten Ableitung der Zielfunktion sind mögliche Extremwerte.
Wenn festgestellt wird, welcher Definitionsbereich aufgrund der Aufgabenstellung
vorgegeben ist, fallen manchmal einige Nullstellen weg (so z.B. die negativen Zahlen
bei fast allen praktischen Anwendungen, da sie in der realen Welt nicht wirklich Sinn
machen…).
b) hinreichende Bedingung: f ‘‘(bExtr) ist größer oder kleiner als Null
Die Nullstellen der ersten Ableitung, die im Definitionsbereich der Aufgabe liegen,
werden in die zweite Ableitung eingesetzt.
Ergeben sich positive Funktionswerte der zweiten Ableitung (f ‘‘(bExtr) > 0), liegt ein
Minimum vor.
Ergeben sich negative Funktionswerte der zweiten Ableitung (f ‘‘(bExtr) < 0), liegt
ein Maximum vor.
5. Bezug zur Aufgabe
Die Lösung für den Extremwert (im Bsp. das b) wird in die Ausgangsfunktion
(Zielfunktion) eingesetzt, um die Ausgangsfrage zu beantworten. Diese gibt die Größe
des Extremalwertes, in unserem Fall die größte Fläche an. Weiterhin berechnen wir
noch die Größen für die andere(n) Variable(n), in unserem Bsp. den Wert für a.
6. Ganz exakt müssen wir noch zeigen, dass unser lokales Extremum auch das globale
ist…
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