Modul 54 - logistisch-gebremst - WKO Online

Podcast-Text: WIFI Berufsreifeprüfung / Mathematik/
Modul 57 – Beispiel: Extremwertrechnung
Aufgabe:
Als Folge der weltweiten Klimaänderung treten häufiger extreme Wettersituationen auf.
Nach einer Hochwasserkatastrophe beschließt eine Gemeinde, einen unterirdischen
Entlastungskanal zu bauen. Dieser hat als Querschnitt die Form eines Rechtecks mit
aufgesetztem Halbkreis. Die Baukosten für einen Meter Kanal ergeben sich
folgendermaßen: Der Boden und die Seitenwände werden vor Ort betoniert, dabei
entstehen pro Meter Umfang Kosten von 45 €. Der obere Bogen wird fertig bestellt und
kostet pro Meter Umfang 55 €.
Wie muss die Höhe und die Breite des Kanals gewählt werden, damit bei einer
geforderten Querschnittsfläche von 10 m² die Baukosten möglichst gering werden?
Laut Angabe sollen die Baukosten möglichst gering sein. Somit wissen wir, dass es sich
hier um eine Extremwertaufgabe handelt und dass ein Minimum gesucht und zu
berechnen ist.
Als Erstes brauchen wir die Zielfunktion, die meistens zwei unabhängige Variablen
beinhaltet. Das, was minimal sein soll, ist unsere Zielfunktion. Hier sind es die
Baukosten, die von der Querschnittsform abhängig sind. Der Querschnitt ist ein Rechteck
mit aufgesetztem Halbkreis. Somit ist die Breite des Kanals 2r. Das Rechteck kann nur so
breit sein, wie der Halbkreis. Die Seitenkanten dieses Kanal nenne ich h. h und r sind
somit meine unabhängigen Variablen. Für den Boden, also für die Breite, und für die
Seitenkanten ist der gleiche Preis von 45 € zu bezahlen. Für den Bogen, ein Halbkreis
mit Länge rπ, muss 55 € bezahlt werden. So ergeben sich folgende Kosten und somit
unsere Zielfunktion: K von h und r abhängig errechnet sich aus dem Preis von 45€ mal
der benötigten Meter 2h + 2r und aus dem Preis von 55 € mal der benötigten Meter rπ.
Zielfunktion:
K(h,r) = 45.(2h + 2r) + 55. rπ
Jetzt brauchen wir noch eine Nebenbedingung um eine Variable, r oder h, zu
eliminieren. Im Text ist eine Querschnittsfläche von 10 m² angegeben. Das ist zugleich
unsere Nebenbedingung. Rechtecksfläche + Halbkreis, also 2rh +r²π/2 ergeben 10 m².
Nebenbedingung:
2rh +r²π/2 = 10
h kommt nur einmal vor, somit wird auf h umgeformt und in die Zielfunktion eingesetzt.
Unsere Zielfunktion enthält nun als einzige Variable r. Die große Herausforderung ist
Modul 57 – Maturaaufgabe Extremwertaufgabe
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© 2010, WIFI Österreich, Wolfgang Huber
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nun das Vereinfachen: Klammern ausrechnen, gleiche Objekte addieren, r² mit r² und
gemeinsame Konstanten herausheben. Da in 45 € und 55 € jeweils ein 5er vorkommt,
kann man sicher 5 herausheben. Wer sich mit Kommazahlen leichter tut, kann die
restlichen Zahlen ausmultiplizieren. Für π können Sie 3,1416 einsetzen. Steht ein r im
Nenner, so schreiben Sie stattdessen r hoch -1. Somit benötigen Sie beim Ableiten nur
die Potenzregel.
Im nächsten Schritt lassen Sie die herausgehobene 5 wegfallen und haben dafür eine
Welle über der Funktion zu zeichnen. Anschließend wird nach r abgeleitet. Hochzahl
über r nach vorne und Hochzahl um 1 reduzieren. Die 1. Ableitung setzen Sie 0. Das r
hoch -2 schreiben Sie wieder als 1/r² an. Wenn Sie nun mit r² multiplizieren, erhalten
Sie eine quadratische Gleichung mit quadratischem und konstantem Glied. Daher
brauchen Sie nur umformen und die Quadratwurzel ziehen.
Noch ein paar Tipps zum Umformen:
Mit Plus/Minus bringen Sie die gesuchte Größe auf eine Seite. Hier ist es das r². Sie
können nun alle r² zusammenzählen – falls Sie in Kommazahlen umgewandelt haben –
ansonsten heben Sie r² heraus. Danach wird durch den Faktor beim r² dividiert.
Sie erhalten zwei Lösungen, wobei die negative Lösung nicht die gesuchte Lösung sein
kann, weil es kein negatives r geben kann.
Die relevante Lösung setzen Sie in die 2. Ableitung ein, um zu überprüfen, ob ein
Minimum vorliegt. Sie müssten eine Zahl größer 0 erhalten, sonst liegt ein Fehler vor.
Nach der Überprüfung setzen Sie Ihre Lösung von r in die Nebenbedingung ein und
errechnen sich h. Die Breite b ist 2r. Somit haben Sie alle gewünschten Lösungen.
Extremwertaufgaben laufen immer nach diesem Schema ab. Daher sollten Sie diese
Schrittfolge gelernt haben.
Viel Spaß beim Mathematisieren!
Lösung:
r = 1,53 m -> Höhe = 2,06 m und Breite = 2r = 3,06 m
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