Extremalaufgaben

Fach: Mathematik
10. Mai 2008
Extremalaufgaben
Aufgabe 1:
a) Für den letzten Weihnachtsmarkt an der Liebigschule habt ihr Kekse gebacken und verkauft. Wie viele Kekse (Kekspackungen) habt ihr verkauft
und zu welchem Preis? Wie groß war demnach euer Umsatz?
b) Wovon hing es euer Meinung nach ab, wie viele Packungen ihr verkauft
habt? Welche dieser Aspekte konntet ihr im Voraus selbst beeinflussen und
welche nicht?
c) Tragt in einer Tabelle euren Verkaufspreis p und die verkaufte Zahl der
Packungen N ein. Stellt euch vor, der Verkaufspreis wäre halb so teuer bzw.
doppelt so teuer gewesen. Wie viele Packungen hättet ihr dann verkauft?
Was wäre, wenn ihr die Packungen verschenkt hättet, bzw. wenn der Preis
zehn mal so teuer gewesen wäre? Tragt eure Vermutungen ebenfalls in die
Tabelle ein.
d) Tragt die Werte aus eurer Tabelle in ein (p,N )-Diagramm ein. Welche Systematik könnt ihr für die Abhängigkeit zwischen dem Preis und der verkauften
Menge erkennen? Könnt ihr eine Funktion N (p) angeben, die diese Systematik wiederspiegelt? (Hier gibt es sehr viele Möglichkeiten.) Beschreibt
auch die Grenzen der Gültigkeit eurer Funktion.
e) Könnt ihr mit Hilfe des Diagramms bzw. der Funktion N (p) euren Umsatz
allgemein für einen beliebigen Preis bestimmen? Wann wird euer Umsatz
maximal?
Fach: Mathematik
10. Mai 2008
Aufgabe 2: Gegeben ist eine Funktion f (x,y) = x4 + 2x2 y 2 + y 2 und die Bedingung, dass x2 + y 2 = 4.
a) Auf welcher geomtrischen Linie liegen die Punkte, die durch die Bedingung beschrieben werden? Zeichne dazu ein (x,y)-Diagramm, lege eine x,yWertetabelle an und trage die Punkte in das Diagramm ein. Wie groß
können x und y werden, damit die Bedingung noch zu erüllen ist?
b) Bestimme den Maximalwert der Funktion f .
Aufgabe 3:
a) Zerlege die Zahl 12 so in zwei Summanden a und b, dass das Produkt a · b
möglichst groß wird. Löse diese Aufgabe auch für eine beliebige Zahl z.
b) Welche beiden reellen Zahlen mit der Differenz 1 haben das kleinste Produkt? Löse auch dieses allgemein für eine Differenz d.
Aufgabe 4: Du erinnerst dich vielleicht noch an die Schachteln, die du im letzten
Halbjahr aus einem Blatt Papier gefaltet hast. Stell dir vor du hast wieder ein
DIN-A4 Blatt und sollst solch eine Schachtel falten.
a) Wie groß ist das Volumen V der Schachtel in Abhängigkeit ihrer Länge a,
ihrer Breite b und ihrer Höhe c?
b) Aus dem Blatt wurden an den vier Ecken gleich große Quadrate herausgeschnitten und die überstehenden Seitenränder hochgeklappt. Wenn die
Quadrate eine Seitenlänge von 2 cm haben, wie groß sind dann Länge, Breite und Höhe der Schachtel. Wie groß sind diese, wenn die Seitenlänge der
Quadrate x cm beträgt? Tipp: Eine Zeichnung hilft hier sicherlich.
c) Wie groß kann das Volumen der Schachtel maximal werden?
Fach: Mathematik
10. Mai 2008
Extremalaufgaben, Lösungen
Lösung 1: Die Teile a) bis c) wurden bereits im Unterricht besprochen. Teile d)
und e) werden am Donnerstag 15.05.08 besprochen.
Lösung 2:
Hauptbedingung:
Nebenbedingung:
f (x,y) = x4 + 2x2 y 2 +√y 4
x2 + y 2 = 4 ⇒ y = ± 4 − x2
a) Weil x2 und y 2 immer positive Werte sind, darf jeder einzelne Term höchsten
vier ergeben, also 0 ≤ x2 ≤ 4 und 0 ≤ y 2 ≤ 4. Daraus ergibt sich, dass
−2 ≤ x ≤ 2 und −2 ≤ y ≤ 2.
x
y
-2
0
×
-1
√
± 3
0
1
2
√
±2 ± 3 0
2×
y
1.5
×
1
0.5
0
×
−2 −1.5 −1 −0.5 0
−0.5
×
0.5
1.5 x 2
1
−1
×
−1.5
−2 ×
×
Alle Punkte, die die Nebenbedingung erfüllen liegen auf einem Kreis.
b) Die NB in die HB eingesetzt ergibt die Zielfunktion
f (x) = −x4 + 7x2 + 4
q
Die Extremstellen von f (x) sind x = 0, x = ± 72 ≈ ±1,87, die Maxima
q
liegen dabei bei x = ± 72 . Für y ergibt sich mit der NB y 2 = 21 . Daraus
ergibt sich der Maximalwert von f (x) zu fmax =
65
4
= 16,25.
Fach: Mathematik
10. Mai 2008
Lösung 3:
Hauptbedingung:
Nebenbedingung:
Zielfunktion:
f (a,b) = a · b
a + b = 12 ⇒ a = 12 − b
f (b) = (12 − b)b = 12b − b2
Die Extremwerte liegen bei b = 6 und a = 6. Das Maximum der Ziefunktion liegt
bei P (6,36).
Für eine beliebige Zahl z ist die NB a + b = z. Die Extremwerte liegen dann bei
2
a = z/2 und b = z/2 und das Maximum der ZF bei P ( z2 | z4 ).
Lösung 4: Das DIN-A4 Blatt hat eine Länge von 29,7 cm und eine Breite von
21,0 cm. An den Ecken werden Quadrate mit der Seitenlänge x = 2 cm herausgeschnitten.
a) Das Volumen der Schachtel ist V = a · b · c (Hauptbedingung)
b) Die Quadrate können maximal halb so groß werden wie die Breite des DINA4 Blatts (0 ≤ x ≤ 10,5). Für die verschiedenen Schachteln ergibt sich:
Kantenlänge der Quadrate
2
x
a
29,7 − 4
29,7 − 2x
b
21,0 − 4
21,0 − 2x
c
2
x
c) Zielfunktion V (x) = (29,7 − 2x)(21,0 − 2x)x = 4x3 − 101,4x2 + 623,7x.
Das Maximum der Zielfunktion liegt bei x ≈ 4,04. Die Schachtel hat dann
die Ausmaße a = 21,62 cm, b = 12,92 cm, c = 4,04 cm und V = 1128,5 cm3 .