1.6. Extremalaufgaben (Aufgaben)

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
1.6. Extremalaufgaben (Aufgaben)
1. Aus einem Drahtstück der Länge L = 180cm soll das Drahtmodell eines Quaders geformt
werden, der viermal so lang wie breit ist und dessen Volumen maximal werden soll.
2. Einem gleichseitigen Dreieck mit der Seiten a = 7cm ist ein Parallelogramm mit
maximalen Inhalts einzubeschreiben, das mit dem Dreieck einen Winkel gemeinsam hat.
3. Im Intervall [0,π] soll dem Graphen von f(x) = 3sin(x) ein Rechteck ABCD so
einbeschrieben werden, dass die Strecke AB auf der x-Achse und die Punkte C, D auf
dem Graphen von f liegen und der Umfang maximal ist.
4. Eine Konservenfabrik will zylindrische 1-Liter-Dosen mit minimalem Blechverbrauch
(minimale Oberfläche) herstellen. Wie müssen Basiskreisradius x und Höhe h des
Zylinders gewählt werden?
5. Welcher Punkt auf der Parabel p: y = 0.5x2 hat den kleinsten Abstand vom Punkt P(6/0) ?
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Lösungen
1. b = Breite des Quaders, a = Länge, c = Höhe
Volumen des Quaders V = a . b . c
Nebenbedingungen: a = 4b und 4a + 4b + 4c = 180 => c = 45 – 5b
Zielfunktion: V(b) = 4b . b . (45 – 5b) = 180b2 – 20b3
Extremum: V’(b) = 0 => b = 6 (Kontrolle, ob Maximum durch V’’)
Die Kanten müssen a = 24cm, b = 6cm, c = 15cm gewählt werden. Das maximale
Volumen beträgt dann 2160cm3.
2. x = Höhe des Parallelogramms, r = Länge
Fläche des Parallelogramme A = x . r
Nebenbedingung: ganzes Dreieck und Restdreieck über dem Parallelogramm sind ähnlich
3
3
⋅7 − x
⋅7
1
Es gilt daher: 2
= 2
=> r = (21 − 2 3 ⋅ x )
r
7
3
Zielfunktion: A( x ) =
1
x (21 − 2 3 ⋅ x )
3
Extremum: A’(x) = 0 => x =
7 3
(Kontrolle, ob Maximum durch A’’)
4
7 3
7
Das Parallelogramm hat die Länge r = cm, die Höhe x =
cm und das maximale
2
4
Volumen V =
49 3
cm2.
8
3. r = Stelle in [0,π], so dass der Punkt (r/0) die linke untere Ecke des Rechtecks ist
Umfang des Rechtecks U = 2a + 2b
Nebenbedingungen: a = (π – 2r und b = 3sin(r)
Zielfunktion: U(r) = 2(3sin(r)) + 2(π – 2r) = 6sin(r) + 2π – 4r
Extremum: U’(x) = 6cos(r) – 4 = 0 => u = 0.841
Das Rechteck hat die linke untere Ecke (0.841/0) und den maximalen Inhalt 5.07.
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
4. x = Radius der Büchse, h = Höhe
Oberfläche = Mantelfläche + 2 Kreisflächen = 2πx.h + 2πx2
Nebenbedingung: Volumen = 1, πx2.h = 1 => h =
Zielfunktion: O(x) =
Extremum: O(x) =
1
πx 2
2
+ 2πx 2
x
-2
1
+ 4πx = 0 => x = 3
2
2π
x
Die Oberfläche ist minimal für x = 0.542dm und h = 1.08dm. Sie beträgt dann 5.54 dm3.
5. gesuchter Punkt auf der Parabel =Q(x/y)
Entfernung von Q zu P = d =
(x − 6 )2 + ( y − 0 )2
Nebenbedingung: y = 0.5x2 , weil Q auf der Parabel liegt
Zielfunktion: d(x) =
(x − 6)2 + (0.5x 2 )2 =
0.25x 4 + x 2 −12x + 36
Extremum: d’(x) = 0 => x3 +2x – 12 = 0 => x = 2
Der Punkt Q(2/2) hat von P den kleinsten Abstand, und zwar d = 20 .