3.4. Ebene im Raum (Aufgaben) Lösungen

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
3.4. Ebene im Raum (Aufgaben)
1. Gegeben sind die Punkte A(–1/14/2), B(4/9/5) und C(–7/10/2). Dadurch wird eine
Ebene ε durch A, B und C definiert.
a) Wie lautet die Parameterform der Gleichung von g?
b) Wie müssen die Parameter t und s gewählt werden, damit der Punkt P(6/2/8) erreicht
wird?
⎛ 4⎞
⎛ 2⎞
⎛ − 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2. Gegeben ist die Ebene ε : r = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜ 1 ⎟ + s ⋅ ⎜ 0 ⎟ .
⎜ 3⎟
⎜ 0⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a) Berechne den Schnittpunkt von ε mit der z-Achse (Spurpunkt Sz).
b) Bestimme die Schnittgerade von ε mit der xy-Ebene (Spurgerade sxy).
c) Bestimme die Koordinatengleichung von ε.
d) Berechne den Schnittpunkt von ε mit der x-Achse (Spurpunkt Sx) mit Hilfe der
Koordinatengleichung.
e) Bestimme die Schnittgerade von ε mit der yz-Ebene (Spurgerade syz) mit Hilfe der
Koordinatengleichung.
f) Bestimme den Schnittwinkel γ zwischen ε und der y-Achse.
g) Berechne den Abstand des Punktes P(5/–5/7) von ε.
h) Welcher Punkt F auf ε liegt am nächsten beim Punkt P(5/–5/7)?
Lösungen
1. a)
b)
⎛ − 1⎞
⎛ 5 ⎞
⎛ − 6⎞
⎛ − 1⎞
⎛ 5 ⎞
⎛ − 6⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
rA = ⎜ 14 ⎟ , v = AB = ⎜ − 5 ⎟ und w = AC = ⎜ − 4 ⎟ ⇒ ε : r = ⎜ 14 ⎟ + t ⋅ ⎜ − 5 ⎟ + s ⋅ ⎜ − 4 ⎟
⎜ 2⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜2⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 6 ⎞ soll ⎛ − 1⎞
⎛ 5 ⎞
⎛ − 6⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 14 ⎟ + t ⋅ ⎜ − 5 ⎟ + s ⋅ ⎜ − 4 ⎟
⎜8⎟
⎜2⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 0 ⎟ ⇒t=2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎫
(⇒ Probe : stimmt! )
⎪
1
⎬ ⇒ s=2
⎪
⎭
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
2. a)
x- und y-Koordinaten müssen Null sein:
⎛ − 4⎞
⎛ 2⎞
⎛ 0 ⎞ soll ⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜ 1 ⎟ + s ⋅ ⎜ 0 ⎟ ⇒ t = −2
⎜ 3 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 3⎟
⎜ z⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
b) z-Koordinate muss Null sein:
⎛ x ⎞ soll ⎛ 4 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ − 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ 2⎟ + t ⋅ ⎜1⎟ + s ⋅ ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜ 3⎟
⎜0⎟
⎜ 3 ⎟ ⇒ s = −1
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎫⇒ s=0
⎪
⎬
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬ ⇒ S z (0 / 0 / 3)
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛ x ⎞ soll ⎛ 4 ⎞
⎛ 2⎞ ⎛ − 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ 2⎞
⎛8⎞
⇒ ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⇔ s xy : r = ⎜⎜ ⎟⎟ + t ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎜0⎟
⎜ 3⎟
⎜0⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝{⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
rxy
c)
Parameter t und s eliminieren:
x = 4 + 2t − 4s
⎛ x ⎞ ⎛ 4⎞
⎛ 2⎞
⎛ − 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
y = 2+t
⎜ y ⎟ = ⎜ 2⎟ + t ⋅ ⎜ 1⎟ + s ⋅ ⎜ 0 ⎟ ⇔
⎜ z ⎟ ⎜ 3⎟
⎜0⎟
⎜ 3 ⎟
z = 3 + 3s
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎫
⎪
⇒ t = y−2 ⎬ ⇒
⇒ s = 13 z − 1 ⎪⎭
x = 4 + 2 y − 4 − 43 z + 4 ⇒ ε : 3x − 6 y + 4 z − 12 = 0
d)
3x − 6 y + 4 z − 12 = 0 ⎫
⎬ ⇒ 3x − 12 = 0 ⇒ S x (4 / 0 / 0)
S x ( x / 0 / 0)
⎭
e)
3x − 6 y + 4 z − 12 = 0 ⎫
⎬ ⇒ − 6 y + 4 z − 12 = 0 ⇒ s yz : 3 y − 2 z + 6 = 0
s yz (d .h. x = 0)
⎭
f)
⎛ 3 ⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Winkel γ ' zwischen nε = ⎜ − 6 ⎟ und v y = ⎜ 1 ⎟ :
⎜ 4 ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ nε ⋅ v y ⎞
⎟ = arccos⎛⎜ − 6 ⎞⎟ = 140.2° ⇒ γ = 90° − γ ' = 50.2° (0.876 rad )
γ ' = arccos⎜
⎟
⎜
⎜ nε ⋅ v y ⎟
⎝ 61 ⎠
⎝
⎠
g) P in HNF(ε) einsetzen:
3 ⋅ 5 − 6 ⋅ ( −5) + 4 ⋅ 7 − 12
= 0.128
q=
3 2 + ( −6 ) 2 + 4 2
h) Senkrechte Gerade n durch P mit ε schneiden gibt F:
⎛ 3 ⎞ ⎫
⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ ⎪
⎜ ⎟
n : r = ⎜ − 5⎟ + t ⋅ ⎜ − 6⎟ ⎪
⎜ 4 ⎟ ⎬ ⇒ 3 ⋅ (5 + 3t ) − 6 ⋅ (−5 − 6t ) + 4(7 + 4t ) − 12 = 0
⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎪
⎝ ⎠
ε : 3 x − 6 y + 4 z − 12 = 0 ⎪⎭
⇔ 61t + 61 = 0 ⇒ t = −1 ⇒ F (2 / 1 / 3)