Aufgaben - Educanet.ch

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
2.1. Rechtecksummen und bestimmtes Integral (Aufgaben)
1. Gegeben ist die Funktion f mit dem unten dargestellten Graphen.
4
a) Illustriere in der Zeichnung die Zahl
∫ f (x ) dx .
−2
b) Zeichne a und b so ein, dass
b
b
∫ f (x ) dx > 0
b1)
b2)
a
∫ f (x ) dx < 0
b
b3)
a
2. Gegeben ist die Funktion f ( x ) = −
∫ f (x ) dx = 0 ist.
a
1
5
x+ .
2
4
a) Berechne mit Hilfe der Flächenformel für Dreiecke und Trapeze die Zahlen
1.5
I1 =
∫ f (x) dx
7
und I2 =
−1
∫ f (x ) dx .
−1
b
b) Berechne b, so dass
∫ f (x) dx = 0 ist.
−1
b
c) Stelle eine Formel auf für
∫ f (x ) dx , wobei b ≥ -1 sein soll.
−1
x2
schliesst mit der x-Achse ein Flächenstück A ein.
2
Bestimme mit dem Taschenrechner als Näherung für den Inhalt von A die
Rechtecksumme R(10), R(50) und R(100). Wähle dabei für xi einmal die linke Grenze des
Teilintervalls und einmal für xi die Mitte des Teilintervalls.
3. Der Graph der Funktion f ( x ) = 2x −
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Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Lösungen
1. a)
b1)
b2)
b3)
2. a) Mit der Trapezformel: I1 = (1.5 − (−1)) ⋅
f (−1) + f (1.5)
= 2.81
2
Mit der Dreiecksformel (Nullstelle von f ist 2.5, der 2. Summand ist negativ):
1
1
I2 = ⋅ (2.5 − (−1)) ⋅ f (−1) + ⋅ (7 − 2.5) ⋅ f (7) = -2
2
2
b) b = 6 (Symmetrie bzgl. Nullstelle)
b
c) Für b ≤ 2.5:
∫ f (x) dx = (b − (−1)) ⋅
−1
b
f (−1) + f (b)
b 2 5b 3
= −
+ +
2
4 4 2
1
1
b 2 5b 3
⋅ (2.5 − (−1)) ⋅ f (−1) − ⋅ (b − 2.5) ⋅ f (b) = −
+ +
4 4 2
2
2
−1
Die Formel gilt also für beliebige b ≥ -1 .
Für b > 2.5:
∫ f (x) dx =
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3. Lösung mit dem CAS-System des Taschenrechners.
2⋅x -
Eingabe der Funktion:
Nullstellen = Intervallgrenzen:
1 2
⋅x → f ⎛⎝ x ⎞⎠
2
solve⎛⎝ f ⎛⎝ x⎞⎠ = 0, x⎞⎠
"Done"
x = 4 or x = 0
Gesucht ist also eine Näherung für das bestimmte Integral von f in den Grenzen 0 und 4.
Die Teilintervallbreite für n beträgt 4/n.
n
Rechtecksumme:
⎛ f ⎛ x ⎛ i, n⎞ ⎞ ⋅4 ⎞
∑ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠
→ r⎛⎝ n⎞⎠
n
i = 1⎜
⎝
⎠
xi = linke Grenze:
⎛ i - 1⎞⎠ ⋅4
0+ ⎝
→ x⎛⎝ i, n⎞⎠
n
approx⎛⎝ ⎧⎨⎩ r⎛⎝ 10⎞⎠ , r⎛⎝ 50⎞⎠ , r⎛⎝ 100⎞⎠ ⎫⎬⎭ ⎞⎠
xi = Mitte:
"Done"
⎧⎨⎩ 5.28, 5.3312, 5.3328⎫⎬⎭
4
⎛ i - 1⎞⎠ ⋅4
+ ⎝
→ x ⎛⎝ i, n⎞⎠
n
2⋅n
approx⎛⎝ ⎧⎨⎩ r⎛⎝ 10⎞⎠ , r⎛⎝ 50⎞⎠ , r⎛⎝ 100⎞⎠ ⎫⎬⎭ ⎞⎠
"Done"
"Done"
⎧⎨⎩ 5.36, 5.3344, 5.3336⎫⎬⎭
Kontrolle mit dem Integral-Befehl des Taschenrechners:
⌠4
⎮ ⎛⎝ f ⎛⎝ x⎞⎠ ⎞⎠ x
⎮
⌡0
⎮
16
3