5. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 2 (GY/BK)

PD Dr. F. Klinker
SoSe 2017
5. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 2 (GY/BK)
Aufgabe 1 (2+1 P.)
a) Zeigen Sie, indem Sie Eigenschaften der Differentialrechnung
nutzen, dass es
1
eine Zahl c ∈ R gibt, sodass arctan(x) + arctan x = c für alle Zahlen x ∈ R>0 .
Bestimmen Sie c.
b) Was lässt sich über x ∈ R<0 oder x = 0 aussagen?
Aufgabe 2 (2+2+1+3+2+5+2 P.) (Hinweis: Skizzen können hilfreich sein!)
Durch cosh(t) := 12 (et + e−t ) und sinh(t) := 21 (et − e− t) sind zwei Funktionen cosh :
R → R und sinh : R → R definiert.
i) Zeigen Sie cosh0 = sinh und sinh0 = cosh, und weiter, dass sinh(t) bijektiv
ist. Die Umkehrfunktion heiße arsinh : R → R.
√
1
ii) Zeigen Sie cosh arsinh(t) = 1 + t2 und damit arsinh0 (x) = √1+x
2.
Z √
1 √ 2
b) Zeigen Sie
t2 + 1 dt =
t t + 1 + arsinh(t) + c,
2
a)
i) indem Sie differenzieren.
ii) indem Sie geschickt integrieren.
c) Es sei G = (x, y, z) y = 0 , x > 0 , x2 − z 2 = 1 eine Teilmenge der zx-Ebene.
i) Geben Sie G in der xz-Ebene als Graph einer Funktion über der z-Achse
an.
ii) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man G um
die z-Achse rotieren lässt, mit Hilfe von Satz 9.47 und Bemerkung 9.50.
Hinsichtlich 9.50 dürfen Sie folgendes Integral als bekannt voraussetzen:
Z √
u √
1
2
u a2 − u2 + a arcsin
+c
a2 − u2 du =
2
a
iii) Vergleichen Sie das Ergebnis aus ii) mit dem, dass Sie mit Hilfe von Satz
9.44 erhalten.
Aufgabe 3 (0 P.)
Beweisen Sie die Formel, die Sie in Aufgabe 2.c.ii voraussetzen dürfen.