Übungen zu Mathematische Methoden der Physik 1 / Blatt 7 / 2. Mai

Übungen zu Mathematische Methoden der Physik 1 / Blatt 7 / 2. Mai 2006 / GG
Lineare Systeme erster Ordnung
1. Dreidimensionale Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit: Sei V ein dreidimensionaler, orientierter, reeller Vektorraum mit Skalarprodukt h·, ·i. Für ein festes n ∈ V ist die Abbildung Ln : V → V, v 7→ n × v linear. Hier bezeichnet n × v das Vektorprodukt von n mit v. (Dazu
werden Skalarprodukt und Orientierung benötigt.) Sei nun |n| = 1 und ω ∈ R.
00 0
z
y
x
Das Drehvektorfeld Le3
(a) Sei γ v : R → V mit γ v (t) = n hn, vi + cos (ωt) (v − n hn, vi) + sin (ωt) n × v. Zeigen Sie,
dass γ v die maximale Lösung des Systems γ̇ = ωLn (γ) mit γ v (0) = v ist. Welche Bahn
hat γ v ? Geben Sie die (maximale) Flussabbildung Φ des Vektorfeldes ωLn an. Hinweis:
a × (b × c) = b ha, ci − c ha, bi.
(b) Zeigen Sie γ v (t) = (exp (tωLn )) v.
2
(c) Zeigen Sie für die Beschleunigung bv (t) := ddtγ2v (t), dass bv (t) = −ω 2 (γ v (t) − n hn, γ v (t)i). Es
gilt also hγ̇ v (t), ni = hγ̇ v (t), γ v (t)i = hbv (t), γ̇ v (t)i = hbv (t), ni = 0.
2. Spin-1/2-System: Es sei V ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt h·, ·i.
Für die Vektoren e1 , e2 ∈ V gelte hei , ej i = δ i,j und für die lineare Abbildung σ : V → V gelte
σe1 = e2 und σe2 = e1 .
(a) Zeigen Sie mittels σ 2 = id und Aufsummieren der Exponentialreihe, dass1
Φ : R × V → V,
(t, v) 7→ e(−itσ) v = cos (t) v − i sin (t) σv =: U (t)v.
(b) Kontrollieren Sie hU (t)v, U (t)wi = hv, wi für alle v, w ∈ V und für alle t ∈ R. (Unitarität)
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(c) Zeigen Sie |hU (t)e1 , e1 i| = cos2 (t).
3. Bahnen der Lorentzgruppe: Für die Abbildung X : R2×1 → R2×1 gelte
µ
¶
µ
¶
x
y
X:
7→
.
y
x
(a) Zeigen Siefür die Menge L aller maximalen Lösungen des Systems γ̇ = X(γ)
½
µ
¶ µ
¶ µ
¶
¾
cosh(t) sinh(t)
x
x
L = γ : R → R2×1 , t 7→
·
|
∈ R2×1 .
sinh(t) cosh(t)
y
y
(b) Skizzieren Sie die Bahnen der maximalen Lösungen, die bei t = 0 durch die Punkte (1, 0)t , (0, 1)t
und (1, 1)t gehen. Die Bahn durch (1, 0)t ist die Menge
½µ
¶ µ ¶
¾
cosh(t) sinh(t)
1
·
|t∈R .
sinh(t) cosh(t)
0
1Φ
ist also der maximale Fluss des Systems iγ̇ = σγ.
1
Die anderen Bahnen sind analog zu bilden. Ist (0, 0)t in der Bahn durch (1, 1)t enthalten?
t
Bemerkung: Die Bahn durch (0, 1) ist die Weltlinie eines gleichmäßig beschleunigten relativistischen Massenpunkts. Eine kleine Zusatzfrage als ’brain teaser’: Welche Geschwindigkeit
bezüglich des gewählten Koordinatensystems hat dieser Massenpunkt bei t = 1?
y
0
0
x
Das Vektorfeld zu X
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