Elektrotechnik 4 - Formelsammlung

ELT 4
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
11. September 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Schwingkreise
2
2 RET - Reaktanz-Eintore
4
3 Zweitore
6
4 Elektrische Netzwerke
8
5 Leitungstheorie
9
6 Smith Chart
11
7 Allgemein
12
1
Elektrotechnik 4 - Formelsammlung
1
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(2013-09-10, Commit : 7b7ce32 - gemäss Unterricht Josef Ebneter/FS2013)
Schwingkreise
1.1
Freie Schwingung
Parallelschwingkreis
iL
u(t)
Serienschwingkreis
iR
L
L
C
R
iC
R
C
i(t)
mit iC = C · u̇
iL + iR + iC = 0
R
1
i̇ +
i=0
L
LC
ωr
ï +
i̇ + ωr2 i = 0
QS
1
1
u̇ +
u=0
RC
LC
ωr
ü +
u̇ + ωr2 u = 0
QP
DGL
ï +
ü +
Resonanzfrequenz
ωr =
Güte
QP = R
q
C
L
=
R
ωr L
= Rωr C ;
QP
ωr
= RC
Dämpfungsfaktor
Aperiodisch, Q <
α1 , α2 reel
Kritisch, Q =
Periodisch, Q >
1
2
α1 , α2 imaginär
Eigenfrequenz =
L
C
=
ωr L
R
=
1
Rωr C
;
QS
ωr
i(t) = (I1 + βi t)eαt = (I1 + βi t)e−ωr t
ωr
= −ωr
2QP
u(t) = U 1 eα1 t + U 2 eα2 t mit U 2 = U ∗1
−
ωr
=
L
R
1
2Q
u(t) = (U1 + βu t)eαt = (U1 + βu t)e−ωr t
S
α1,2 = −
ωr
= −ωr
2QS
i(t) = I 1 eα1 t + I 2 eα2 t mit I 2 = I ∗1
ωr
t
u(t) = e 2Qp (Ua cos(ω0 t) + Ub sin(ω0 t))
i(t) = e− 2Qs t (Ia cos(ω0 t) + Ib sin(ω0 t))
ωr
ωr
− 2Q
t
− 2Q
t
ωr
p · (U cos(ω t) + U sin(ω t))
p · (−U ω sin(ω t) + U ω cos(ω t))
u̇(t) = − 2Q
·
e
+
e
a
0
b
0
a 0
0
b 0
0
p
ωr
ωr
ωr
i̇(t) = − 2Q
· e− 2Qs t · (Ia cos(ω0 t) + Ib sin(ω0 t)) + e− 2Qs t · (−Ia ω0 sin(ω0 t) + Ib ω0 cos(ω0 t))
s
ωr
u̇(t = 0) = − 2Q
Ua + ω0 Ub
P
q
ωr
ωr
α1,2 = − 2Q
±
jω
1 − 4Q12 = − 2Q
± jω0
r
P
P
P
q
ω0 = ωr 1 − 4Q12
ω0 ≈ ωr (QP >> 1/2)
P
Konstanten
q
i(t) = I1 eα1 t + I2 eα2 t
q
ωr
1
α1,2 = − 2Q
±
ω
−1
r
4Q2
S
α1,2 = −
α1 = α2
1
R
u(t) = U1 eα1 t + U2 eα2 t
q
ωr
1
α1,2 = − 2Q
±
ω
−1<0
r
4Q2
P
P
1
2
√1
LC
QS =
ξ=
1
2
mit uL = L · i̇
uL + uR + uC = 0
ωr
i̇(t = 0) = − 2Q
Ia + ω0 Ib
S
q
ωr
α1,2 = − 2Q
±
jω
1 − 4Q1 2
r
S
S
q
1
ω0 = ωr 1 − 4Q2
ω0 ≈ ωr (QS >> 1/2)
S
1. Ermittlung der Anfangsbedingungen bei t = 0
u(0) durch Ansatz, dass Spannung an C & Strom
an L nicht Sprunghaft ändern
i(0) mit selben Ansatz
u̇(0) aus iL + iR + iC = 0 und iC = C · u̇(0)
i̇(0) aus uL + uR + uC = 0 und uL = L · i̇(0)
2. Ermittlung der Konstanten U1 , U2 , βu , Ua , Ub , I1 , I2 , βi , Ia , Ib
u(t) = . . . bei t = 0 mit Anfangsbed. vergleichen,
selbes für u̇(t = 0)
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
i(t) = . . . bei t = 0 mit Anfangsbed. vergleichen, selbes für i̇(t = 0)
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Erzwungene Schwingung
Parallelschwingkreis
R
1 + j(ωC −
fr
B=
Qp
Z=
Bandbreite
B = f2 − f1 =
1
ωL )
Serienschwingkreis
G
1 + j(ωL −
fr
B=
Qs
Y =
·R
1
2π (ω2 − ω1 )
v=
ω
ωr
−
ωr
ω
f
fr
=
−
fr
f
≈2·
∆ω
ωr
=2·
∆f
fr
für |∆ω| << ωr , ∆ω = ω − ωr
Normierte Frequenz
Ω = v · QP
Ω = v · QS
Normierter Frequenzgang
Z
R
Y
G
1
1+jΩ
=
An 3dB-Grenzen gilt:
ω1,2 = ωr
Z
R
√1 =
b
2
=
q
1
4·Q2
+1∓
− 3dB ; ϕ = ±45◦
ω = ωr ; v = 0 ; Ω = 0
Im{Z} = Im{Y}= 0
Spannungen und Ströme
1
2·Q
=
1
1+jΩ
, auch Bandgrenzen genannt
Y
G
U = Umax = R · I
Z = Zmax = R
P = Pmax = R · I 2
IL = IC = I · QP
=
√1 =
b
2
− 3dB
Y = Ymax = G
I = Imax = G · U
P = Pmax = G · U 2
UC = UL = U · QS
Blindleistungen QL = −QC = QP · Pmax
QL = −QC = QS · Pmax
Quellenstrom I konstant
Quellenspannung U konstant
Z
R
Z
Zmax
=
Durch R:
IR
I
=
Z
R
Durch L:
IL
I
=
Z
jωL
Durch C:
IC
I
und
U
Umax
=
Z
R
Y
Ymax
M ax
2
=
Y
G
und
I
Imax
=
Y
G
UR
U
=
UL
U
= jωL · Y (U L um +90◦ zu Y , I, U R )
= jωC · Z (I C um +90◦ zu Z, U , I R )
UC
U
=
P U/I/Z(ω)
Bei ω = ω1 :
Im
UL
(I L um −90◦ zu Z, U , I R )
M ax M ax
M
√ax
2
Y
G
Y
jωC
UR =
(U C um −90◦ zu Y , I, U R )
U
√
2
I
Re
−45◦
ω1
Maximale Werte
ωr
q
U UC
ω
ω2
I · QP
ILmax = ICmax = q
1 − 4Q1P
q
ILmax bei ωL = ωr · 1 − 2Q1P 2 < ωr
ICmax bei ωC =
ωr
1− 2Q1
P
1.3
P = 12 Pmax =
b − 3dB
bei ω = ω2 => Ω = +1
Bei Resonanz gilt:
· G)
ω1 · ω2 = ωr 2
Verstimmung
bei ω = ω1 => Ω = −1
1
ωC
ILP ⇔ UCS
ICP ⇔ ULS
QP ⇔ QS
> ωr
2
Resonanzkreis mit realen Elementen
Umrechnungen Parallel- ⇐⇒ Serieschaltungen von L & R oder C & R für einen Frequenzpunkt!
L&R
C&R
Parallel ⇒ Seriell
RP (ωLP )2
RS = 2
RP + (ωLP )2
RP
RS =
1 + (ωRP CP )2
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
R2 LP
LS = 2 P
RP + (ωLP )2
1 + (ωRP CP )2
CS =
(ωRP )2 CP
Seriell ⇒ Parallel
R2 + (ωLS )2
RP = S
RS
(ωCS RS )2 + 1
RP =
(ωCS )2 RS
RS2 + (ωLS )2
ω 2 LS
CS
CP =
1 + (ωCS RS )2
LP =
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(2013-09-10, Commit : 7b7ce32 - gemäss Unterricht Josef Ebneter/FS2013)
RET - Reaktanz-Eintore
2.1
Reaktanzen
Induktivität
X = ωL
Z = jωL
1
B = − ωL
Nullstelle: lim X(ω) = 0
X
L
Kapazität
j
1
1
= − ωC
X = − ωC
Z = jωC
B = ωC
Nullstelle: lim X(ω) = 0
X
ω
C
ω→∞
ω→0
2.2
ω→∞
Vorgehen bei Netzwerkanalyse
1. Schaltung übersichtlich aufzeichenen und den Startpunkt der Addition bestimmen
2. Frequenzverlauf der Reaktanz finden durch fortgeschrittene Addition und Inversion
1
3. Inversion: B(ω) = − X(ω)
; P olstelle ⇐⇒ N ullstelle
4. Die so entstandenen Pole und Nullstellen, ausser 0 und
∞ sind die Resonanzfrequenzen des RET
2.6
Polstelle: lim X(ω) = −∞
Polstelle: lim X(ω) = ∞
ω
ω→0
2.3
RET Eigenschaften
• Zähler/Nenner-Potenz - Der Zahler hat entweder/oder gerade/ungerade Potenzen, wohin gegen der Nenner
ungerade/gerade Potenzen von jω besitzt
• Den Polynomen fehlen keine Koeffizienten!
• Anzahl Elemente - Anzahl nicht-negativen und endlichen Polen/Nullstellen entspricht minimale Anzahl Elemente → Grad
Minimalreaktanzeintor (MRET)
1. Netzwerk übersichtlich aufzeichnen
2. Tor offen; Kreise suchen die nur L oder C enthalten; Ein Element des Kreises weglassen, es darf aber kein anderer
Zweig stromlos werden.
3. Tor kurzgeschlossen; Trennbündel suchen(Knoten, oder Element an denen nur L oder C liegen); Ein Element kurzschliessen, dabei darf kein anderes Element kurzgeschlossen werden.
4. Die verbleibenden Elemente im MRET haben nicht mehr die gleichen Grössen und müssen neu berechnet werden.
Anzahl Elemente entspricht höchster Potenzfunktion Z(p)
2.7
2.7.1
RET-Synthese
Mittels Partialbruchzerlegung
1. F (p) =
6
4
2
2p +22p +68p +48
3p5 +21p3 +30p
2. F (p) ausdividieren, falls Zählergrad > Nennergrad
3. Nenner des echten Bruches zerlegen und Ansatz bilden
8p4 +48p2 +48
Bp
Cp
A
( 23 p+) 3p
5 +21p3 +30p = 3p + p2 +2 + p2 +5
4. Erweitern und Koeffizienten bestimmen
8
A = 24
B = 89
C = 45
5
5. Koeffizienten einsetzen
F (p) = 23 p + 151 p + 9 p+1
24
8
Mittels Kettenbruchzerlegung
1. Art: Zählergrad > Nennergrad, sonst invertieren
2. Art: Polynom nach kleinster Potenz ordnen. Falls Pol bei
p=0 ⇒ nicht invertieren, ansonsten invertieren
1. F (p) =
2p6 +22p4 +68p2 +48
3p5 +21p3 +30p
2. F (p) ausdividieren = 23 p +
1
4p
9
+
1
45
8 p+
4/9H
8/225H
9/8F
45/8F
15/24F
1
8 p
255
8p4 +48p2 +48
3p5 +21p3 +30p
3. Kehrwert des Restes nochmals ausdividieren
1
1
= 23 p + 3
3p5 +21p3 +30p
3p3 +12p
2
3p
+
8 p+ 8p4 +48p2 +48
8p4 +48p2 +48
6. Schaltung aufzeichnen:
Impedanzfunktion Z(p)
2/3H
2.7.2
4. Schritt zwei wiederholen bis kein Rest mehr vorhanden
1
ist F (P ) = 32 p + 3 p+
1
8 p+
1
3 p+
1
3
16 p+ 1
16
1 p
3
16
8
5. Schaltung aufzeichnen (bei 2. Art L und C vertauschen):
Impedanzfunktion Z(p)
2/3H
8/3H
16/3H
3/8F
3/16F
1/16F
Admittanzfunktion Y (p)
9/8H
2/3F
45/8H
15/24H
4/9F
8/225F
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
Admittanzfunktion Y (p)
3/8H
3/16H
2/3F
8/3F
1/16H
16/3F
11. September 2013
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
X(ω)
X(ω)
X(ω)
X(ω)
ωL0
1
− ωC
0
Reaktanz
− ωC1∞
ω
− ωC1∞
ωL∞
ωL∞
ω
ω
ω
Z(p)
Z(p)
Z(p)
Z(p)
=
jω[(jω)2 +ω32 ][...]
C∞ [(jω)2 +ω22 ][(jω)2 +ω42 ]...]
n−1
[L∞ (jω)2 +ω22 ][(jω)2 +ω42 ][...]
jω[(jω)2 +ω32 ]...]
n
1 an p +...+a0
p bm pm−1 +...b1
[(jω)2 +ω22 ][...]
jωC∞ [(jω)2 +ω32 ][...]
n
1 an p +...+a0
p bm pm−1 +...b1
1
= p anbpm pm+...+a
+...b0
=
=
=
=
=
jωL∞ [(jω)2 +ω32 ][...]
[(jω)2 +ω22 ][...]
n−1
1
= p anbpm pm+...+a
+...b0
Impedanzfunktion
C-Kreis
C-TB
C-Kreis
L-Kreis
L-Kreis
L-TB
C-TB
L-TB
Eigenschaften
Null
Null
Pol
Pol
Pol
Null
Null
Pol
ω=0
ω→∞
ungerade
gerade
gerade
ungerade
Zähler (n)
m=n+1
m=n−1
m=n+1
m=n−1
Nenner (m)
Gegebenes RET übersichtlich aufzeichnen
Ins RET zusätzliche L- bzw. C-Elemente einfügen, dass C- bzw. L-Kreise oder C- bzw. L-Trennbündel entstehen.
Durch Weglassen / Kurzschliessen von alten RET-Elementen das erweitere RET auf ein MRET zurückführen.
Impedanzfunktion des alten RET und des MRET berechnen und die unbekannten MRET-Elemente durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
Äquivalenz
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1.
2.
3.
4.
2.5
Tabelle 1: Bestimmung des RET-Typ. Die Bezeichnungen Klemmentrennbündel und Klemmenkreis wurden abgekürzt zu TB und Kreis. Die Reaktanzdiagramme sind
keinenfalls Masstäblich!
P-Typ
S-Typ
C-Typ
L-Typ
Typ
RET-Typen
Symbol
2.4
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Zweitore
Eingang- und Übertragungsgrössen (Tab 4)
Torbedingung:
Zweitor: I 01 = I 1 und I 02 = I 2
3.1
Einteilung der Zweitore
• reziprok - Speist man ein reziprokes Zweitor aus einer Quelle mit Innenwiderstand Z 0 und belastet es am Ausgang
mit der derselben Impedanz Z 0 , so ist es für die Kenngrössen gleichgültig in welcher Richtung das Zweitor betrieben
wird.
• Richtungssymmetrie - Beide Tore können elektrisch nicht unterschieden werden. Beim Umdrehen des Zweitors
bleiben die Eingangsgrössen unverändert.
• Erdsymmetrie - Werden die Anschlüsse von 1 mit 10 und 2 mit 20 vertauscht ist kein Unterschied von aussen erkennbar.
3.4
Reziproke und symmetrische Zweitore
Bedingung für Reziprozität und Symmetrie
3.6
3.5
Leerlauf und Kurzschlussimpedanzen
Tabelle 2 an Prüfung vorhanden
Zusammenschalten von 2-Toren
Serieschaltung
Serie-Parallelschaltung
[Z 0 ]
[Z 00 ]
Parallelschaltung
[H 0 ]
[Y 0 ]
[H]
[Y ]
[H 00 ]
[Y 00 ]
Kettenschaltung
[A0 ]
[A00 ]
[A]
Schaltung
Serieschaltung
Parallelschaltung
Serie-Parallelschaltung
Kettenschaltung
3.7
Matrix
[Z] = [Z 0 ] + [Z 00 ]
[Y ] = [Y 0 ] + [Y 00 ]
[H] = [H 0 ] + [H 00 ]
[A] = [A0 ] · [A00 ]
Bedinugng
Torbedingung muss erfüllt sein!
Torbedingung muss erfüllt sein!
Torbedingung muss erfüllt sein!
Reihenfolge darf nicht vertauscht werden
Ideale gesteuerte Quellen
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
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Form
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
L1
Z1
M
n:1
Z2
Z2
L2
Z3
Z3
∞
Z1
Z; Y
1
2
1
Z 1 +Z 2 +Z 3
Z1 + Z3
Z3
|I 1 =0
Z 1 = Z 11 − Z 12
Z 2 = Z 22 − Z 12
Z 3 = Z 12 = Z 21
U1
U2
Z2 − Z1
Z2 + Z1
pL1
pM
pM
pL2
existiert nicht
Z2 + Z1
Z2 − Z1
Z 1 (Z 2 + Z 3 )
Z 1Z 2
Z 1Z 2
Z 2 (Z 1 + Z 3 )
Z3
Z2 + Z3
|U 1 =0
|I 1 =0
U1
(−I 2 ) |U 2 =0
H 12 =
A12 =
Y 12 =
existiert nicht
Z
Z
|U 2 =0
U1
I1
H 11 =
Z
|I 2 =0
U1
U2
A11 =
Z
Z
|U 2 =0
I1
U1
Y 11 =
I1
U2
U1
I2
Z 12 =
|I 2 =0
U1
I1
Z 11 =
∆12
∆11
I2
I1
I1
U2
I2
U1
U2
I1
I2
U2
−Y
Y
1
p2 (L1 L2 −M 2 )
−Z 3
Z1 + Z3
|I 1 =0
−pM
pL1
Y2−Y1
Y2+Y1
pL2
−pM
|U 1 =0
|I 1 =0
1
Z1
+
1
pM
Z
1
pL1
1
0
1
+
Z3
Z2
1
n
0
#
#
2 · Z 1Z 2
Z2 + Z1
Z3
Z1
Z3
1+
Z2
Z3
Z1Z2
Z3
p2 (L1 L2 − M 2 )
pL2
n
0
Z3
Z1Z2
1+
Z1 + Z2 +
1
0
A
Z2 + Z1
2
1
Z2
1+
Z1
Z3
1
Z3
1+
1
Z 2 −Z 1
"
"
1
Y
Matrixform
I1
U1
= Z
U
I
2
2
U1
I1
= Y
I
U
2
2 U2
U1
= A
I
−I
2
1
U1
I1
= H
I2
U2
Y 1 = Y 11 + Y 12
Y 2 = Y 22 + Y 12
Y 3 = −Y 12 = −Y 21
existiert nicht
Y2+Y1
Y2−Y1
Z2 + Z3
−Z 3
Y
−Y
−Y 3
Y2+Y3
1
2
Y
I2
U2
U2
I2
I1
(−I 2 ) |U 2 =0
H 22 =
A22 =
Y 22 =
Z 22 =
∆22
existiert nicht
|U 2 =0
|I 2 =0
|U 2 =0
|I 2 =0
1
Z 1 Z 2 +Z 1 Z 3 +Z 2 Z 3
H 21 =
A21 =
Y 21 =
Z 21 =
∆21
Y1+Y3
−Y 3
Prim. Leerlauf: I 1 = 0
Sek. Leerlauf: I 2 = 0
(2013-09-10, Commit : 7b7ce32 - gemäss Unterricht Josef Ebneter/FS2013)
Gegeninduktivität
Idealer Übertrager
symm. Kreuzglied
π-Glied (reziprok)
T-Glied (reziprok)
Längsimpedanz
Z; Y
Matrizen elementarer Zweitore
Querimpedanz
3.3
Hybridform
Kettenform
Admittanzform
Vierpolgleichung
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2
U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2
I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2
U 1 = A11 U 2 + A12 (−I 2 )
I 1 = A21 U 2 + A22 (−I 2 )
U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2
I 2 = H 21 I 1 + H 22 U 2
Prim. Kurzschluss: U 1 = 0
Sek. Kurzschluss: U 2 = 0
Vierpolgleichungen und ihre Parameter
Impedanzform
3.2
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Elektrische Netzwerke
4.1
Dualität
R0 = D 2 G
L0 = D2 C
Z = D2 Y
I0 =
U
D
R↔G
τ0 = τ
Z↔Y
Stern ↔ Dreieck
Knoten ↔ Masche
G0 = DR2
C 0 = DL2
Y = DZ2
U 0 = DI C ↔ L u ↔ i
Parallel ↔ Serie Stromquelle ↔ Spannungsqu.
Vorgehen zum Auffinden des dualen Netzwerkes
1. Netzwerk ohne Kreuzungen aufzeichnen
2. In jede Masche (auch in Umfangsmasche) einen dualen Knoten setzen
3. Knoten von anstossenden Maschen verbinden. Jeder dieser Maschen hat gemeinsamen Zweig (dualen Zweig).
4. In die dualen Zweige die dualen Schaltungselemente einsetzen und Strom/Spannungspfeile
in dualer Richtung einzeichnen.
5. Dualfaktor D[Ω] wählen und Werte der dualen Netzwerk-Elemente bestimmen.
4.2
4.2.1
Netzwerkfunktionen
4.3
Grundformen
• Summenform:
n
+a1 pn−1 +...+an−1 p+an
n (p)
= K0 QPm
F (p) = K0 ppm +b
m−1 +...+b
(p)
1p
m−1 p+bm
• Produktform:
(p−z1 )(p−z2 )...(p−zn )
n (p)
F (p) = K0 (p−p
= K0 QPm
(p)
1 )(p−p2 )...(p−pm )
4.5
4.5.1
stabil
alle Polstellen in der linken Halbebene
grenzstabil
alle Polstellen in LHE und/oder auf jω-Achse
instabil
mindestens eine Polstelle in der rechten Halbebene
4.4
• Normierte Produktform:
Ausser konstantem Faktor K nur Faktoren der Form:
p, (1 + ap), (1 + bp + cp2 ) in Zähler und/oder Nenner!
Stabilitätsbedingungen
UTF zu Frequenzgang
F (p) ⇒ F (jw) → p mit jω ersetzten!
Multiplikation von konj. komplexen Polen:
(jω − (σ1 + jω1 ))(jω − (σ1 − jω1 ))
= ((jω)2 − 2jωσ1 + σ12 + ω12 )
Zusammenhang Polstellen - freie Schwingung
Allgemein
4.5.2
• Term der freien Schwingung:
u(t) = c1 ep1 ·t + c2 ep2 ·t + . . . + cm epm ·t
Beispiel
u(t) =
−t
−1
20V e 50ms −15V cos(10s−1 t+ϕ11 )+12V e4s t sin(5s−1 t+ϕ12 )
pi : Pole
• reeler Pol: ⇒ ci · eσi ·t → Pol bei σi
Polstellen bei:
• zweifach reeler Pol:
⇒ ci · eσi ·t + di · t · eσi ·t → zweifach Pol bei σi
−t
20V e 50ms = 20V e−20s
• konj. komplexer Pol:
⇒ ci1 · e(σi +jωi )t + ci2 · e(σi −jωi )t = A · eσi t · cos(ωi · t + ϕ)
→ Polstellen bei σi ± jωi
4.6
−1
t
→ Pol bei − 20s−1
−15V cos(10s−1 t + ϕ11 ) → Pol bei (0 ± j10)s−1
−1
12V e4s
t
sin(5s−1 t + ϕ12 ) → Pol bei (4 ± j5)s−1
Zusammenhang PN-Verteilung & Frequenzgang
Frequenzgang:
1
⇒ F (jω) = K ·
F (p) = K · (p−pp−z
1 )(p−p2 )
Amplitudengang:
jω
p1
z1
σ2
p2
=K·
jw−σ2
(jw+σ1 −jω1 )(jw+σ1 +jω1 )
Az
n
Q
z }|1 {
Azi
|jω − z1 |
|F (jw)| = K ·
⇒ Allg.: F (jω) = |K| · i=1
m
Q
|jω − p1 | |jω − p2 |
| {z } | {z }
Ap j
jω1
−σ1
jw−z1
(jw−p1 )(jw−p2 )
Ap1
σ
−jω1
j=1
Ap2
Phasengang:
Allg.: arg(F (jw)) =
n
X
i=1
ϕzi −
m
X
ϕpj + kπ
j=1
Die Winkel liegen zwischen der Richtung der positiven σ-Achse und dem aktuellen jω.
Eine Nullstelle auf der jω-Achse bewirkt einen Phasensprung von π.
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Leitungstheorie
Leitungsbeläge
Ω
] : Widerstandsbelag
R0 [ m
0 H
L [ m ] : Induktivitätsbelag
S
G0 [ m
] : Leitwertbelag
0 F
C [ m ] : Kapazitätsbelag
Leitungsgleichungen:
∂i
∂u
= −G0 u − C 0
∂z
∂t
∂i
∂u
= −R0 i − L0
∂z
∂t
Leitung als Zweitor
  
  
cosh(γl)
Z 0 sinh(γl)
U
U1
 ·  2
 =
1
cosh(γl)
I1
I2
Z sinh(γl)
U 1 = cosh(γl) · U 2 + Z 0 · sinh(γl) · I 2
I 1 = Z1 · sinh(γl) · U 2 + cosh(γl) · I 2
0
0
wenn αl >> βl kann cosh(γl) ≈ sinh(γl) = 21 eγl angenommen werden!!!
5.1
Verlustbehaftete Leitungen
Ausbreitungskonstante γ =
h i
Dämpfungs-Belag α = Nmp
Phasen-Belag β = rad
m
1
m
γ = α + jβ =
p
p
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 ) = (R0 G0 − ω 2 L0 C 0 ) + jω(R0 C 0 + L0 G0 )
Neper: 1N p =
β=
ln(10)
20 dB
dB = N p ·
ω
vph
U (z) = U v + U r = U v0 · e−γz + U r0 · eγz
Wellengleichung
Wellenwiderstand
I(z) = I v − I r = I v0 · e−γz − I r0 · eγz
q 0
p
R +jωL0
Z0 = ZW = G
ZL · ZK =
0 +jωC 0 =
Vorlaufende Anfangsspannung
U Av sieht nur Z 0 ⇒ I Av =
Phasengeschw., Wellenlänge
vph =
Freiraumwellenlänge
λ0 =
5.1.1
20
ln(10)
λ
T
=
ω
β
=λ·f
c
f
=
2πc
ω
Ur
Uv
=
Ir
Iv
UAv
Z0
λ=
2π
β
Uv
Iv
=
Ur
Ir
Z
0
U-Quelle am Eingang: U Av = U q Ri +Z
=
0
vph
f
c ≈ 3 · 108 m
s
Beschaltete Leitung
Reflexionskoeffizienten
r=
Am Anfang:
Am Ende:
=
Z−Z 0
Z+Z 0
rA = rE · e−2γl =
rE =
U Er
U Ev
=
U Ar
U Av
=
Z A −Z 0
Z A +Z 0
Z E −Z 0
Z E +Z 0
1+r
1−r
Z beim Reflexionsfaktor r
Z = Z0 ·
Spannungen / Ströme
U r = r · U v ⇔ Ir = r · Iv
Transformations-Eigenschaften
U Ev = U Av · e−γ·l
U Ar = U Er · e−γ·l
von r:
rA = rE · e−2γl
von Z:
ZA = Z0 ·
1+r A
1−r A
U = U r (1 + 1r )
U = U v (1 + r)
Z ·sinh γl+Z ·cosh γl
Z +Z ·tanh γl
= Z 0 Z 0 ·cosh γl+ZE ·sinh γl = Z 0 Z E+Z 0 ·tanh γl
0
E
0
Keine Reflektion:
Z E = Z 0 , rE = 0
→
Z A = Z 0 , rA = 0
Kurzschluss:
Z E = 0 , rE = −1
→
Z A = Z K = Z 0 cosh γl
Leerlauf:
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Z E → ∞ , rE = +1
→
E
sinh γl
cosh γl
Z A = Z L = Z 0 sinh γl
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5.2
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Verlustfreie Leitungen
√
γ = jβ = jω L0 C 0
Fortpflanzungskonstante
R0 = G0 = 0
Dämpfungsmass
⇒
√
Phasenmass
β=ω
q
L0
Z 0 = R0 = C
0 , rein reel!
Wellenwiderstand
Verkürzungsfaktor
Koaxialkabel:
α=0
L0 C 0
VK =
vph =
√ c
εr ·µr
λ
λ0
=
|{z}
=
vph
c
√c
εr
vph =
⇒
VK =
√ 1
L0 C 0
√ 1
εr ·µr
µr =1
Transformation
[β] =
rad
m
[Z0 ] = Ω
=
|{z}
√1
εr
µr =1
ZA =
Z +jR tan(βl)
R0 RE0 +jZ 0 tan(βl)
E
rA = rE · e−2jβl
R0
Z A = −j tan(βl)
Leerlauf: rE = +1
Kurzschluss rE = −1
Leistungen
Z A = jR0 tan(βl)
Pr =
2
UAr
R0
=
2
2
rA
UAv
R0
Pv = UAv · IAv =
5.2.1
2
= rA
Pv
2
UAv
R0
2
PE = Pv (1 − rA
)
= z.B. Antennenleistung
Stehwellenverhältnis und Anpassfaktor
rE = rE · ejϕE
Grundlagen
l vom Ende weg gemessen!
ϕE
2β
Maximale Spannung
U (l)max , wenn U v und U r in Phase → lU max =
Minimale Spannung
U (l)min , wenn U v und U r in Gegenphase → lU min =
Stehwellenverhältnis
V SW R = s =
Anpassfaktor
m=
empirische Ermittlung von rE
Umax
Umin
=
Uv +Ur
Uv −Ur
=
ϕE ±π
2β
1+rE
1−rE
1−rE
1
s = 1+rE
1−m
rE = s−1
s+1 = 1+m
ϕE = lU max · 2β
5.2.2
Spezialfälle
Kurzschluss/Leerlauf
Bei Kurzschluss oder Leerlauf verschwinden die Spannungs- Stromminima. Da die rückläufige Welle eben soviel Energie
transportiert wie die hinlaufende, wird längs der Leitung keine Energie transportiert. Es sieht so aus, als ob die Welle am
Ort stehen bleibt.
Leitung ideal abgeschlossen
Ist die Leitung ideal abgeschlossen, existiert keine reflektierende Welle. Die hinlaufende Welle transportiert so die gesamte
Energie vom Sender zum Empfänger.
Leitung nicht ideal abgeschlossen
Es entsteht beim Empfänger eine Überlagerung der absorbierten und der stehenden Welle. Aus dem Verhältnis von Spannungsmaximum zu Spannungsminimum entsteht das Stehwellenverhältnis VSWR.
5.2.3
Beispiele zu Leitungsabschlüssen
Fall
Leitungsende
1
Anpassung
SWR
r
z
vxm
1
0
1 + j0
−
2
Leerlauf:
Spannungsmaximum
∞
1∠0◦
∞ + j∞
λ/4
3
Kurzschluss:
Spannungsminimum
∞
1∠180◦
0 + j0
λ/2
4
λ/8 Stichleit. KS
5
λ/8 Stichleit. LL
∞
1∠90◦
0 + j1
3λ/8
∞
1∠90◦
0 − j1
λ/8
Grafik
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Smith Chart
Nur für verlustlose Leitungen anwendbar!
6.1
Eigenschaften
• Normieren: Z einzutragen = Z N :=
• r aus Smith-Chart; Da r =
Z N −1
Z N +1
Z
R0
= RN + jXN =
r+1
r−1
→ abhängig von R0 !
• Impedanz ⇔ Admittanz: Am Kreismittelpunkt spiegeln
Y N = Z1 → rYN = −rZN
N
• Kurzschluss: Impedanz Admittanz
• Leerlauf: Impedanz Admittanz
• Phase:
In der Verlängerung der Reflexionsgerade am Kreisrand ablesen
• VSWR: Schnittpunkteqvon Kreis r mit reeller Achse bilden
R1 & R2 ⇒ V SW R =
R2
R1
• gespiegelter Kreis: Kreis mit konstantem Realanteil(=1)
(RN /GN = 1) gespiegelt an Mittelpunkt (”Einheitskreis” in
linker Ebene)
• Leitungstransformation: Zeiger um
und Wert gemäss äusserster Skala
l
λ
drehen. Richtung
• Addition von parallelen Leitungen
Darauf achten, dass gleiches R0 ! und Admittanzen addieren
• Wellenwiderstandssprung
Beim Widerstandssprung umnormieren!
• Umnormieren: Z NR = Z NR
1
• Entnormieren:
Z gewünscht = R0 Z abgelesen
6.2
6.2.1
0
R0
R1
Y gewünscht =
1
R0 Y abgelesen
Anpassungen mit Smith-Chart
Anpassung durch Längs- und Querreaktanz
6.2.3
Anpassung
durch
Längsreaktanz
Leitungsstück
und
Mit Längsreaktanz auf gespiegelten Kreis (Impedanzebene)
Auf Fehlabschlüsse mit Re(Z N ) < 1 beschränkt.
6.2.2
Durch Leitungsstück auf
Re(Z N ) = 1-Kreis transformieren (Impedanzebene)
Durch Leitungsstück auf
Re(Y N ) = 1-Kreis transformieren (Admittanzebene)
Anpassung durch Quer- und Längsreaktanz
6.3
Mit Querreaktanz auf gespiegelten Kreis (Admittanzebene)
Anpassung durch λ/4-Transformation
R
R00
=
R00
R0
⇒ R00 =
√
R · R0
Auf Fehlabschlüsse mit Re(Z N ) > 1 beschränkt.
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Allgemein
7.1
Schaltelemente bei zeitabhängigen Vorgängen
Ohmscher Widerstand R
u und i können sprunghaft ändern
Kapazitität C
u kann nicht sprunghaft ändern
´t
u(t) = C1 i(τ )dτ + u(0)
u(t) = R · i(t)
Induktivität L
i kann nicht sprunghaft ändern
u(t) = L di(t)
dt
0
i(t) =
u(t)
R
i(t) = C du(t)
dt
ZR = R
7.2
ZC =
i(t) =
j
= − ωC
1
jωC
1
L
´t
u(τ )dτ + i(0)
0
ZL = jωL
Vorgehen bei Schaltvorgängen
u(t) = UE + (UA − UE )e
−t
τ
i(t) = IE + (IA − IE )e
−t
τ
τ = CR =
L
R
XA = lim x(t)
|{z}
t→0+
Anf ang
XE = lim x(t)
|{z}
t→∞
Ende
Beachte: Spannung an C und Strom an L können nicht sprunghaft ändern.
Zur Bestimmung von R alle Quellen ausschalten und Belastung von Speicherelement her betrachten
7.3
Vektor -/ Kreuzprodukt, Rechte-Hand-Regel
~c = ~a × ~b:
7.4
A
−1
~c ⇔ Daumen; ~a ⇔ Zeigefinger; ~b ⇔ Mittelfinger
Matrixinversion einer 2x2-Matrix
a
=
c
7.5
−1
b
=
d
1
det(A)
d −b
=
−c a
1
ad−bc
d −b
−c a
PartialbruchzerlegungS15
Falls möglich, erst Polynomdivision.
x2 + 20x + 149
⇒
x3 + 4x2 − 11x − 30
f (x) =
Nenner faktorisieren mit
⇒ x3 +4x2 −11x−30 = (x+2)(x2 +2x−15) = (8x+2)(x+5)(x−3)
HornerschemaS914 , Binom, etc.
Ansatz:
f (x) =
x3
x2 + 20x + 149
A
B
C
A(x + 2)(x + 5) + B(x − 3)(x + 5) + C(x − 3)(x + 2)
=
+
+
=
+ 4x2 − 11x − 30
x−3 x+2 x+5
(x − 3)(x + 2)(x + 5)
Gleichungssystem aufstellen mit beliebigen xi -Werten (am Besten Polstellen oder 0,1,-1 wählen):
x1 = 3 : −9 + 60 + 149 = A · 5 · 8 ⇒ A = 5
7
1
5
+
+
⇒ f (x) =
x2 = −2 : −4 − 40 + 149 = B(−5) · 3 ⇒ B = −7
x−3 x+2 x+5
x3 = −5 : −25 − 100 + 149 = C(−8)(−3) ⇒ C = 1
weitere Ansätze für andere Typen von Termen:
f (x) =
5x2 − 37x + 54
A
B1
B2
A(x − 3)2 + B1 x(x − 3) + B2 x
=
+
+
=
x3 − 6x2 + 9x
x
x − 3 (x − 3)2
x(x − 3)2
f (x) =
1, 5x
A1
A2
A3
A1 (x − 2)2 + A2 (x − 2) + A3
=
+
+
=
x3 − 6x2 + 12x − 8
x − 2 (x − 2)2
(x − 2)3
(x − 2)3
f (x) =
7.6
x3
x2 − 1
A
Bx + C
A(x2 + 4x + 6) + (Bx + C)(x − 2)
=
+ 2
=
2
+ 2x − 2x − 12
x − 2 x + 4x + 6
(x − 2)(x2 + 4x + 6)
Komplexe Trigonometrie
sin α =
ejα −e−jα
2j
cos α =
ejα +e−jα
2
Braun & Co., Jürg & Co, Körner, Gwerder
tan α =
sin α
cos α
sinh α =
eα −e−α
2
cosh α =
eα +e−α
2
tanh(jb) = j tan(b)
11. September 2013