Haus ¨ubung 5

Mathematik I/1 (für Physiker und Comp. Science)
Prof. Dr. Martini
Hausübung 5
Abgabe am 20.12.2013
1. Lösen Sie alle mit (HA) markierten Aufgaben der 5. Übung.
2. Bestimmen Sie die Zahlen a und b so, dass die folgende Funktion im Punkt x = x0 differenzierbar ist:
f (x) =


x2
: x ≤ x0
 ax + b : x > x
0
3. Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes:
(a) Nimmt die stetige Funktion f : [a, b] → R nur rationale Werte an, so ist sie konstant.
(b) Für α < β hat die Gleichung
x2 + 1 x6 + 1
+
= 0 mindestens eine Lösung im Intervall
x−α
x−β
(α, β).
4. Die Hyperbelfunktionen oder hyperbolischen Funktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus
hyperbolicus sind definiert durch cosh, sinh : R → R,
cosh(x) :=
1 x
e + e−x ,
2
sinh(x) :=
1 x
e − e−x .
2
(a) Zeigen Sie, dass cosh und sinh stetige Funktionen sind und dass
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
(x ∈ R)
gilt.
(b) Beweisen Sie, dass sinh bijektiv ist, und dass die Umkehrfunktion Ar sinh (Area Sinus
hyperbolicus) stetig ist.
(c) Rechnen Sie nach, dass
Ar sinh(x) = ln(x +
√
x2 + 1).
(Bemerkung: Auch cosh : [0, ∞) → [1, ∞) ist bijektiv mit Umkehrfunktion Ar cosh.)