1 2.4 Eindimensionale rechteckige Potenzialschwelle. Tunneleffekt

3 Woche 26./27.4.11
2.4
Eindimensionale rechteckige Potenzialschwelle. Tunneleffekt
QmT können in räumliche Bereiche eindringen, in denen eine klassische Bewegung nicht
möglich/verboten ist und diese u.U. überwinden. Wir demonstrieren diesen so genannten
Tunneleffekt am Beispiel der rechteckigen Potenzialschwelle und betrachten dazu
Wechselwirkung eines qmT mit einer rechteckigen Potenzialbarriere der Breite 2a und der
Höhe U0
⎧U > 0 , x < a
U( x ) = ⎨ 0
.
⎩ 0, x ≥ a
Dieser Potenzialverlauf entspricht dem des umgestülpten Potenzialtopfes endlicher Tiefe.
Während klassische Teilchen mit Energien E < U0 vollständig an den Potenzialwänden
reflektiert werden, können qmT die Potenzialbarriere überwinden.
Die Lösung der stationären SG hat für E < U0 die Form
⎧ A e i kx + B e − i kx , x < − a
⎪
ψ( x ) = ⎨C e − κx + D e κx , − a < x < − a mit „Wellenzahlen“ h k = 2m E , h κ = 2m ( U 0 − E ) .
⎪ F e i kx + G e − i kx , a < x
⎩
Aus den Stetigkeitsforderungen an die Wellenfunktion ergeben sich bei x = - a die
Anschlussbedingungen
A e − i ka + B e i ka = C e κa + D e − κa
i k ( A e − i ka − B e i ka ) = − κ ( C e κa − D e − κa )
In Matrizen-Form lauten diese beiden Gleichungen
⎛ e − i ka
⎜⎜ − i ka
⎝e
e i ka ⎞
⎟
− e ka ⎟⎠
κa
⎛ A ⎞ ⎛⎜ e
⎜⎜ ⎟⎟ = i κ κa
⎝ B ⎠ ⎜⎝ k e
e κa ⎞
⎟
iκ
− e κa ⎟
k
⎠
⎛C⎞
⎛ A⎞
⎛C⎞
⎜⎜ ⎟⎟ oder ⎜⎜ ⎟⎟ = M̂(a ) ⎜⎜ ⎟⎟
⎝D⎠
⎝ B⎠
⎝ D⎠
1
Mit Hilfe der Transfer-Matrix M̂ lassen sich auch die Anschlussbedingungen am Ort x = a in
kompakter Form
⎛ F⎞
⎛C⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = M̂( − a ) ⎜⎜ ⎟⎟
⎝G⎠
⎝ D⎠
darstellen.
Nach einfacher Rechnung finden wir
⎛e
M̂(a ) = ⎜⎜ − i ka
⎝e
− i ka
⎞
⎟
− e ⎟⎠
e
i ka
ka
−1
⎛ e κa
⎜ iκ
⎜ e κa
⎝k
⎛ ⎛ i κ ⎞ κa +i ka
⎜ ⎜1 + ⎟ e
e κa ⎞
1 ⎜⎝
k⎠
⎟
iκ
= ... =
− e κa ⎟
2 ⎜ ⎛ i κ ⎞ κa −i ka
k
⎠
⎜ ⎜1 − k ⎟ e
⎠
⎝⎝
⎛ i κ ⎞ − κa +i ka ⎞
⎟
⎜1 − ⎟ e
k ⎠
⎝
⎟
⎛ i κ ⎞ − κa −i ka ⎟
⎜1 + ⎟ e
⎟
k ⎠
⎝
⎠
und daraus
ε
⎛
2 i ka
⎜ cosh( 2κa ) + i sinh( 2κa ) e
2
M̂(a ) M̂ −1 ( −a ) = ⎜
η
⎜⎜
− i sinh( 2κa )
2
⎝
η
⎞
i sinh( 2κa )
⎟
2
⎟
ε
− 2 i ka ⎟
cosh( 2κa ) − i sinh( 2κa ) e
⎟
2
⎠
κ
k
κ k
−
und η := + .
k
κ
k κ
mit den Abkürzungen ε : =
Betrachten wir nun den Fall eines von links einfallenden qmT. Dann ist G = 0 und es folgt
ε
η
⎡
⎤
A = ⎢ cosh( 2κa ) + i sinh( 2κa ) ⎥ e 2 i ka ⋅ F sowie B = i sinh( 2κa ) ⋅ F .
2
2
⎣
⎦
Über die Wahrscheinlichkeitsstromdichten (oder direkt über die AWD im Bereich x > a)
erhalten wir für den Transmissionskoeffizienten den Ausdruck
2
F
T( E ) =
= ... =
A
1
, E < U0 .
⎛ ε ⎞
2
1 + ⎜⎜1 + ⎟⎟ sinh ( 2κa )
4⎠
⎝
2
2
Was ändert sich im Fall E > U0 ? Dann ist die WF auch im Intervall − a < x < a oszillierend
ψ( x ) = C ei qx + D e − i qx , − a < x < a , mit h q = 2m ( E − U 0 ) reell. Damit ist q = iκ , also
κ = − i q und es folgt sinh(2κa ) = sinh(−2 i qa ) = −i sin(2qa ) wegen sinh(i z) = i sin z .
1
1+
ε
4
2
=
4E(U 0 − E )
k
κ k
−iq
−
gilt sowohl für ε := −
als auch für ε =
.
2
U0
k κ
k
− iq
Damit ergibt sich für die Transmissionskoeffizienten einer rechteckigen Potenzialschwelle
der Breite 2a und der Höhe U0 abschließend
4 E( U 0 − E )
⎧
, E < U0
⎪
⎞
2
2 ⎛ 2a
2m ( U 0 − E) ⎟
⎪ 4E( U 0 − E ) + U 0 sinh ⎜
⎝ h
⎠
⎪⎪
T( E ) = T( E; U 0 , a ) = ⎨
⎪
4 E( E − U 0 )
, E > U0
⎪
⎞
2
2 ⎛ 2a
⎪ 4E( E − U 0 ) + U 0 sin ⎜
2m ( E − U 0 ) ⎟
⎪⎩
⎝ h
⎠
3
3.
Quantenmechanische Erwartungswerte (qmEWW)
2
Aus der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (AWD) w ( x, t ) = ψ( x, t ) für den Ort des qmT
in V ergibt sich für die mittlere Koordinate
2
x = ∫ dx x ψ( x, t ) .
V
~ ( p, t )
Um den mittleren Impuls des qmT berechnen zu können, benötigen wir die WD w
dafür, dass der Impuls p zum Zeitpunkt t den Wert p ∈ ( p, p + dp) annimmt. Zur Bestimmung
~ ( p, t ) „entwickeln wir die (beliebige normierbare) WF ψ( x, t ) nach ebenen Wellen“ (→
von w
Fourier-Integral) entsprechend
1
2π h
ψ (x, t) =
φ(p, t ) =
1
2π h
∞
∫ dp φ ( p , t ) e
i
p
x
h
Rücktransformation
−∞
∞
∫ dx ψ(x, t ) e
p
−i x
h
.
−∞
Offensichtlich ist φ( p, t ) die Amplitude einer ebenen Welle mit Impuls p.
Es gilt
∞
∫ dp φ(p, t )
2
=
−∞
∞
*
∫ dp φ φ =
−∞
∞
∫
∞
dp
−∞
φ*( p ,t )
∞
=
∫ dx ψ(x, t )
2
p
∞
∞
p
∞
i x
i x
1
1
dx ψ* e h ⋅ φ = ∫ dx ψ *
dp φ e h = ∫ dx ψ*ψ =
∫
∫
2π h − ∞
2π h − ∞
−∞
1444
2444
3
144
42444
3 −∞
ψ ( x ,t )
= 1.
−∞
5
∞
Die Relation
∫ dp
φ(p, t )
2
2
= 1 legt nahe, φ(p, t ) dp als die Wahrscheinlichkeit dafür
−∞
aufzufassen, dass das qmT zum Zeitpunkt t ∈ ( t , t + dt ) den Impuls p ∈ (p, p + dp) besitzt.
Damit ergibt sich für den Erwartungswert/Mittelwert des Impulses der Ausdruck
∞
∫ dp p
p =
φ(p, t )
2
.
−∞
Kann man p durch die "ursprüngliche" WF ψ(x) ausdrücken (wir unterdrücken die Variable
t im Folgenden)?
∞
p =
∫ dp p φ(p, t ) =
2
−∞
∞
*
∫ dp φ(p) p φ (p) =
−∞
∞
∫
∞
dp φ(p) p
−∞
p
i x
1
dx ψ*( x ) e h =
∫
2π h − ∞
1444
424444
3
φ* ( p )
∞
=
∫ dx ψ (x)
*
−∞
1
2π h
∞
∫ dp p φ(p) e
p
i x
h
−∞
∞
∂ ⎞
⎛
= ∫ dx ψ*( x ) ⎜ − i h ⎟
∂x ⎠
⎝
−∞
∞
p
i x
1
dp φ(p) e h
∫
2π h ∞
144−4
24443
´
ψ(x)
Infolgedessen gilt
∞
∫ dx
p =
mit p̂ := − i h
ψ * ( x ) p̂ ψ ( x )
−∞
∂
→ Impulsoperator ( p̂ x ) (x-Komponente)
∂x
Analog finden wir
∞
pn =
n
∫ dp p φ(p, t ) = ... =
2
−∞
∞
∫ dx ψ (x ) p̂
*
n
ψ(x )
−∞
und wenn wir voraussetzen, dass f(p) in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist
∞
f ( p) =
∫ dp f (p) φ(p, t ) = ... =
−∞
2
∞
∫ dx ψ (x ) f (p̂) ψ(x)
*
.
−∞
6
Im dreidimensionalen Fall haben wir zu ersetzen: dx → d 3r , p → −i h ∇ =: p̂ .
Allgemein erhalten wir für den quantenmechanischen Erwartungswert (qmEWW) einer
Observablen (klassischen Phasenraumvariablen) Q(p, r, t ) im Zustand ψ(r,t) den Ausdruck
Q
ψ
= ∫ d 3r ψ*(r, t ) Q̂ ψ(r, t ) mit Q̂ = Q(r,−i h ∇, t )
"Ortsdarstellung"
Wir halten fest: ψ(r,t) und φ(p,t) enthalten die gleichen (vollständigen) Informationen (über
den Zustand des qmT/qm Systems) und können als unterschiedliche Darstellungen der WF
aufgefasst werden.
WF
Ortsoperator
Impulsoperator
Observable
Bewegungsglg.
Ortsdarstellung
Impulsdarstellung
ψ(r,t)
φ(p,t)
r
i h ∇ p 1)
− ih∇
p
Q̂ = Q(r,−i h ∇)
Q̂ = Q(p, i h ∇)
Schrödinger-Glg.
SG für φ(p,t)
(FT der SG für ψ(r,t) )2)
1)
selbstständig analog zur Vorgehensweise oben herleiten
2)
Übung: Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung
7
•
ih
Kompakte Schreibweise der SG
∂ Ψ (r, t )
h2 2
( −i h ∇ ) 2
= Ĥ Ψ (r, t ) mit Ĥ := −
∇ + U(r, t ) =
+ U(r, t )
∂t
2m
2m
Hamilton-Funktion der KM H(p,r,t) → Hamilton-Operator Ĥ = H(r,−i h ∇, t )
stationäre SG: Ĥ ψ (r ) = E ψ (r ) → Eigenwertgleichung für Hamilton-Operator Ĥ
Eigenfunktionen (EF) von Ĥ → WF
Eigenwerte (EW) von Ĥ → Energie-Niveaus, Energiespektrum
FAZIT: Bei Bewegung eines qmT im zeitunabhängigen Potenzial U(r) sind die die
möglichen/gemessenen Energien die EW des Ĥ , die WF die entsprechenden EF von Ĥ .
Unser Rezept war (→ "Korrespondenzprinzip"): Ordne einer Observablen Q(p,r) den
)
Operator Q̂ = Q(r,−i h ∇) und löse das EWP Q ψ n = q n ψ n .
■
Impuls p̂ = −i h ∇ , p̂ ψ (r ) = h k ψ (r ) mit EF ψ (r ) ~ ei k r
■
analog für L̂ , L̂ , L̂ z , T̂ , Ĥ usw.
2
8