Analysis mehrerer Variablen

Analysis mehrerer Variablen
(Mathe III für LA Gym)
— Blatt 6 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
In der Vorlesung wurde die Tangensfunktion definiert und einige Eigenschaften angegeben. Diese sollen
nun hier bewiesen werden. Wir betrachten die Funktion tan : − 12 π, 12 π → R gegeben durch
tan(x)
=
sin(x)
.
cos(x)
(a) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ − 12 π, 12 π die Gleichung tan(−x) = − tan(x) gilt.
(b) Zeigen Sie, dass tan auf dem Intervall − 21 π, 12 π streng monoton wachsend ist.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst das Intervall 0, 21 π , und verwenden Sie dann (a).
(c) Beweisen Sie die Grenzwerte
lim tan(x) = −∞
und
x→− 12 π
lim tan(x) = +∞.
x→ 12 π
Dabei darf ohne Beweis verwendet werden, dass für eine Folge (xn )n∈N positiver Zahlen mit
limn xn = 0 jeweils limn
1
xn
= +∞ gilt.
(d) Begründen Sie mit Hilfe von Teil (b) und (c), warum tan eine Umkehrfunktion
arctan : R → − 12 π, 21 π besitzt.
Aufgabe 2
(a) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei Folgen reeller Zahlen, wobei wir limn bn = 1 voraussetzen. Weisen
Sie nach, dass die Limites superior der beiden Folgen (an )n∈N und (an bn )n∈N übereinstimmen.
(Dabei darf verwendet werden, dass der Limes superior bei einer nach oben beschränkten Folge
deren größter Häufungspunkt ist, und gleich +∞ im Falle einer nach oben unbeschränkten Folge.)
(b) Beweisen Sie die Gleichung limn
√
n
n + 1 = 1.
Hinweis: Stetigkeit der Exponentialfunktion und l’Hospitalsche Regel
(c) Folgern Sie aus Teil (a) und (b), dass der Konvergenzradius einer Potenzreihe f stets mit dem
Konvergenzradius der formalen Ableitung f 0 übereinstimmt.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden beiden Potenzreihen.
∞
X
2n n
x
n!
n=0
,
∞
X
xn
1 + 3n
n=0
Hinweis:
An Stelle der Definition des Konvergenzradius kann auch das Quotientenkriterium verwendet werden.
Dieses Blatt wird vom 23. bis zum 30. November in den Tutorien bearbeitet.
Analysis mehrerer Variablen
(Mathe III für LA Gym)
— Blatt 6 —
(Globalübungsblatt)
Aufgabe 1
Die Funktionen sinh : R → R und cosh : R → R, genannt Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus,
sind definiert durch
sinh(x) = 12 (ex − e−x )
und
cosh(x) = 12 (ex + e−x )
für alle
x ∈ R.
(a) Beweisen Sie für alle x ∈ R die Gleichung cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1.
(b) Weisen Sie nach, dass sinh auf R streng monoton wachsend ist.
(c) Beweisen Sie die beiden Grenzwerte
lim sinh(x) = −∞
und
x→−∞
lim sinh(x) = +∞.
x→+∞
(d) Zeigen Sie, dass sinh eine auf ganz R definierte Umkehrfunktion besitzt, und bestimmen Sie deren
Ableitung mit Hilfe der Umkehrregel.
Aufgabe 2
P∞
P∞
Seien n=0 an xn und n=0 bn xn zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien α, β ∈ R+ . Sei γ ∈ R+ ∪
P∞
{+∞} der Konvergenzradius der Reihe n=0 (an + bn )xn . Beweisen Sie die Ungleichung γ ≥ min{α, β}.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden beiden Potenzreihen.
∞
X
n! n
x
n2
n=1
Abgabe: Freitag, 4. Dezember, 10:15 Uhr
,
∞
X
(−1)n 2n
x
3n n2
n=1