ψ - Uni Marburg

PC-II-03
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Quantenmechanik und ihr mathematisches Modell
Erhaltungsgrۥen der klassischen Mechanik sind auch Erhaltungsgrۥen in der
Quantenmechanik:
‚ Energie
‚ Masse
‚ Impuls
‚ Drehimpuls
Welle-Teilchen-Dualismus: Die Unterscheidung zwischen Wellen und Teilchen wird
aufgegeben. Fƒr die Beschreibung von Teilchen wird einheitlich die Wellendarstellung gew„hlt. Zuordnung einer Welle zu einem Teilchen:
p€
h
€
(de Broglie Relation)
Alle Arten von Wechselwirkungen werden ƒber Potentiale dargestellt.
Wellenfunktionen sind
‚ stetig
‚ stetig differenzierbar
‚ normiert
Die Erfƒllung der Randbedingungen, die durch die Wechselwirkungen verursacht
werden, fƒhren zur Quantisierung, d.h. nur noch eine Auswahl von
Wellenfunktionen beschreiben das Teilchen unter dem Einfluss der
Wechselwirkung.
Die Quantisierung
‚ ergibt sich aus der Einfƒhrung von Randbedingungen.
‚ ist daran zu erkennen, dass in der Wellenfunktion eine Quantenzahl auftritt.
Die (komplexe) Wellenfunktion ist die vollst„ndige Repr„sentation einer Welle bzw.
eines Teilchens.
•n
Die (realwertige) Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh„ngigkeit vom
Ort x erh„lt man aus dem Quadrat der Wellenfunktion.
An ( x ) € • n* ( x ) • • n ( x )
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen in einem bestimmten Volumen (zwischen den
Grenzen Gr1 und Gr2) anzutreffen ergibt sich aus:
A(V ) €
‚
Gr 2
Gr 1
€
€
• n* ( r ) • • n ( r ) dV
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M€gliche Messungen werden mathematisch durch die Anwendung eines Operators
auf die Wellenfunktion repr„sentiert.
r•
ƒ
E•
ƒ
p• ƒ
L• ƒ
€
r
‚2 2
„
… †V
2m
€
„ i‚…
€ €
„ i ‚r ‡ …
Fƒr alle Zeiten zwischen zwei Messungen k€nnen keine Aussagen gemacht werden.
Messergebnis kann nur ein Eigenwert eines Operators angewandt auf die Wellenfunktion sein, z.B. Eigenwerte der Energie
H• € ˆ E „ V ‰ • •
Ergeben sich bei der Anwendung der Operatoren auf die Wellenfunktionen (Eigenfunktionen) keine Eigenwerte, so kann die statistische Verteilung der Ergebnisse
einer Vielzahl von Messungen bestimmt werden.
Welle-Teilchen
Dualismus
Wechselwirkung
Quantisierung
Wellenfunktionen
freies Teilchen
Randbedingungen
Quantenzahlen
Eigenfunktionen
MeÄergebnisse
Potential
diskrete
Wellenfunktionen
gebund. Teilchen
Operatoren
Diskrete
MeÄergebnisse
Wahrscheinlichkeiten
(statistische Verteil.)
Eigenwerte
Erwartungswerte
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Zusammenstellung der Operatoren:
E
‚2 2
„
… †V
2m
€
p
‚€
…
i
€
r
Die Abkƒrzung ‚ steht fƒr ‚ €
€
r
h
.
2‚
Š ƒ•
Œ •
ƒx
€ ŒŒ ƒ ••
Der Operator … €
wird Nabla-Operator genannt, ein vektorieller Operator.
Œ ƒy •
Πĥ
Œ •
‹ ƒz Ž
€
…
2
Meist wird einfach nur … statt
geschrieben. Der Operator … wird LaplaceOperator genannt und ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators:
ƒ2
ƒ2
ƒ2
… €
†
†
ƒx 2 ƒy 2 ƒz 2
2
Den Drehimpulsoperator k€nnen wir analog zu dem klassischen Drehimpuls
errechnen:
€ € €
L€ r‡ p
ƒ
ƒ •
Š
Š
ĥ
Œ y „z •
Œ „ i‚ •
ƒz
ƒy •
ƒx •
Š x• Œ
Œ
Œ • Œ
ƒ
ƒ
ƒ •
„x
L• € r• ‡ p• € Œ y• ‡ „ i‚ • € „ i‚Œ z
Œ
ƒy •
ƒx
ƒz •
Œ • Œ
Œ
z
‹ Ž Œ
ƒ
ĥ
ĥ
„ y •
Πx
Œ „ i‚ •
ƒy
ƒx Ž
‹
‹
ƒz Ž
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Unser erstes Beispiel war:
Teilchen im Kasten (Potential innerhalb Null, auÄerhalb unendlich)
„
‚2 ƒ 2
• € E•
2m ƒx 2
Setzen wir • n ein, dann ergibt sich:
‚2 ƒ 2
‚2 ƒ 2 Š
Œ
„
• € „
2m ƒ x 2 n
2m ƒ x 2 ‹
2
h 2 n 2‚ 2
h2
Š n‚ • •
2
•
sinŒ
• x• €
•• n € n •
• • n € En • • n
‹ L Ž Ž 8‚ 2 mL2
L
8mL2
Das Teilchen im Kasten besitzt also (scharfe) Energieeigenwerte die au•er von der
Masse des Teilchens vom Quadrat der L„nge des Kastens abh„ngen.
h2
E n € (n † 1)
8mL2
2
mit
Der kleinste m€gliche Energieeigenwert ist E 0 €
n € 0, 1, 2, ƒ
h2
, die Nullpunktsenergie.
8mL2
Eine derartige Energie ist in der klassischen Physik nicht bekannt.
Wie wir sehen, fƒhrt
‚ eine Vergr€•erung der Teilchenmasse m zu einer proportionalen Senkung der
Energieniveaus
‚ eine Vergr€•erung der Kastenl„nge L jedoch zu einer Åberproportionalen
Senkung der Energieniveaus.
Der Impuls hat keine Eigenwerte
p• • €
‚ ƒ
‚ ƒ
• €
i ƒx
i ƒx
2
Š n‚ • ‚ n‚
sinŒ
x• €
‹ L Ž
L
i L
kann also nicht scharf gemessen werden.
2
Š n‚ •
cosŒ
x• • p•
‹ L Ž
L
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Bezug zur Spektroskopie
Die Energieniveaus eines Teilchens im Kastens k€nnen nicht direkt beobachtet
werden.
In der Spektroskopie fƒhrt man eine Wechselwirkung von einem Photon und einem
quantenmechanischen System herbei und misst, ob eine Absorption des Photons
erfolgt ist.
Die Aufnahme (Absorption) bzw. Abgabe (Fluoreszenz) von Photonen ist genau
dann m€glich, wenn der Energieunterschied zwischen erlaubten Niveaus gleich der
Energie des Photons ist.
h2
E€ n
8mL2
2
mit n € 1, 2, 3, ƒ
h2
‘ E Energieniveaus € ˆn „ n ‰
8mL2
E photon € h„ (' passendes' Photon)
2
2
2
1
Absorption:
h„ € E n 2 „ E n1 € ˆn22 „ n12 ‰
h2
8mL2
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Unser zweites Beispiel war:
Der Tunneleffekt
V=0
V=V
V=0
Einlaufende Welle ~ A
Transmittierte Welle ~ E
Reflektierte Welle ~ B
€1
€2
0
€3
L
Wir wollen eine Wellenfunktion konstruieren, die von -€ bis +€ definiert ist.
• 1 ( x ) € A1eikx † A2e „ ikx
Als Testfunktionen wollen wir verwenden: • 2 ( x ) € B1e k ' x † B2e „ k ' x
• 3 ( x ) € C1eikx † C2e „ikx
Au•erhalb der Barriere sei der Wellenvektor k und innerhalb der Barrier k€.
Die Rand- und Zusatzbedingungen sind:
1.+2. Stetigkeit
1. • 1 (0) € • 2 (0)
2. • 2 ( L ) € • 3 ( L )
2.+3. Stetig-Differenzierbarkeit
3.
5.
ƒ
ƒ
• 2 ( x) €
• ( x)
ƒx
ƒx 3
L
L
5. C2 € 0
6.
Wir gehen davon aus, dass es
bei • 3 nur eine auslaufende Welle
aber keine rƒcklaufende Welle gibt
4.
6. T €
Wir beschr„nken uns auf die
Transmission T
1.
Damit ergibt sich:
ƒ
ƒ
• 1 ( x) €
• ( x)
ƒx
ƒx 2
0
0
C1
A1
2
2
A1 † A2 € B1 † B2
2. B1e k ' L † B2 e „ k ' L € C1eikL
3. ikA1 „ ikA2 € k ' B1 „ k ' B2
4. k ' B1e k ' L „ k ' B2 e „ k ' L € ikC1eikL
Damit folgt:
’
•1
Š k k '•
A1 € ”2 cosh k ' L „ i Œ „ • sinh k ' L — e ikL C1
‹ k' k Ž
“
–2
Das Verh„ltnis der Intensit„ten der einlaufenden Welle und der auslaufenden Welle
2
erhalten wir aus:
*
1 A1
A1* A1 Š A1 • Š A1 •
€
€
€Œ • Œ •
T C1 2 C1*C1 ‹ C1 Ž ‹ C1 Ž
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Es folgt dann:
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1
T €
2
’
•
1 Š k k '•
1
†
Œ
†
•
sinh 2 k ' L —
”
4 ‹ k' k Ž
“
–
Fƒr ein freies Teilchen (im Potential V = 0) gilt:
‚2 ƒ 2
„
• € E•
2 m ƒx 2
ƒ2
• † k 2• € 0 mit
bzw.
2
ƒx
k€
2mE
‚2
Fƒr ein Teilchen im Potential V €o gilt:
ƒ2
2m
( E „ V )• € 0
2 • †
ƒx
‚2
Es sind nun zwei F„lle zu unterscheiden: E > V (klassisch) und E < V (Tunneleffekt)
2
Š
2m(V „ E ) •
ƒ2
• † Œ ( „ 1) •
• •€0
ƒx 2
‚2
‹
Ž
Fƒr E < V ergibt sich:
2
ƒ
2m(V „ E )
• „ k '2 • € 0 mit k ' €
2
ƒx
‚2
k… ist reellwertig.
Wir setzen ein:
Wir fƒhren ein:
k€
…€
folgt:
und
k' €
2m(V „ E )
.
‚2
E
‚2
und D €
V
2m(V „ E )
’
L •
” 1 sinh 2
—
D —
T € ”1 †
E• —
” 4 EŠ
Œ
1
„
•
”“
V‹
V Ž —–
Damit folgt:
Mit
2mE
‚2
e x „ e„x
sinh x €
2
T €
„1
L
L 1 DL
„
1 2 DL
L
D 2
bzw. sinh
€ ( e „ e ) ˜ e fÄr ™™ 1
D 4
4
D
2
16… (1 „ … )
16… (1 „ … ) † e
2L
D
˜
16… (1 „ … )
e
2L
D
€ 16… (1 „ … ) e
„
2L
D
Die Tunnelwahrscheinlichkeit T h„ngt also ab von den Teilcheneigenschaften Masse
m und Energie E, und von den Barriereeigenschaften Potential(h€he) V und
Potentialbreite L.
Transmission und Reflektion
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Teilchen im dreidimensionalen Kasten
Wir wollen nun die Wellenfunktionen eines Teilchens in einem dreidimensionalen
Kasten bestimmen. Wir kennen bereits die normierten Wellenfunktionen des
Teilchens im 1D-Kasten:
2
Š n‚ •
•n €
sinŒ
x•
L ‹ L Ž
Dabei ist n eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.
Der 3D-Kasten hat die L„ngen L1, L2, L3. Wir suchen eine Funktion
• n ,n ,n ( x , y , z )
1
2
3
die von den drei Freiheitsgraden des Ortes x, y und z abh„ngt.
‚2 2
H• ( x , y , z ) € „
… • ( x , y , z) € E • • ( x , y , z )
2m
Verwenden wir den Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten und versuchen wir
einen L€sungsansatz, bei dem die Wellenfunktion ein Produkt von drei Wellenfunktionen in den drei Raumrichtungen x, y, und z darstellt, so folgt:
Š ƒ2 ƒ2 ƒ2 •
… • € Œ 2 † 2 † 2 • • 1 ( x) • • 2 ( y) • • 3 ( z) €
‹ ƒx ƒy ƒz Ž
2
Š ƒ2
•
Š ƒ2
•
Š ƒ2
•
€ Œ 2 • 1 ( x )• • • 2 ( y ) • • 3 ( z ) † Œ 2 • 2 ( y )• • • 1 ( x ) • • 3 ( z) † Œ 2 • 3 ( z)• • • 1 ( x) • • 2 ( y)
‹ ƒx
Ž
‹ ƒy
Ž
‹ ƒz
Ž
Š 1 ƒ2
•
1 ƒ2
1 ƒ2
€Œ
•
(
x
)
†
•
(
y
)
†
•
(
z
)
• ••
1
2
3
• 2 ( y) ƒy 2
• 3 ( z) ƒz 2
‹ • 1 ( x) ƒx 2
Ž
Setzen wir das in die obige Formel ein erh„lt man:
‚2 2
„
… • € E•
2m
•
‚2 Š 1 ƒ 2
1 ƒ2
1 ƒ2
„
•
†
•
†
• 3• •• € E ••
Œ
2
1
2
2
2
2 m ‹ • 1 ƒx
• 2 ƒy
• 3 ƒz
Ž
„
‚2 1 ƒ 2
‚2 ƒ 2
•
€
E
š
„
• 1 € E x• 1
1
x
2 m • 1 ƒx 2
2m ƒ x 2
Statt eine Differentialgleichung mit drei Variablen zu l€sen, mƒssen wir nun nur die
L€sungen von drei Differentialgleichungen mit je einer Variablen suchen. Dieses
Verfahren nennt man Trennung der Variablen.
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• n1n2n3 €
Šn‚ •
2
sinŒ 1 • x• •
L1
‹ L1
Ž
Šn ‚ •
2
sinŒ 2 • y•
L2
‹ L2
Ž
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Šn‚ •
2
sinŒ 3 • z•
L3
‹ L3 Ž
n1 € 1, 2, 3,...; n2 € 1, 2, 3,...; n3 € 1, 2, 3,...;
E€
n12 h 2
n22 h 2
n32 h 2
†
†
8mL21 8mL22 8mL23
Es zeigt sich, dass diese Wellenfunktion das Produkt der Wellenfunktion jedes
Freiheitsgrades ist und die Gesamtenergie des Teilchens die Summe der Energien
in den drei Freiheitsgraden ist.