Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I Wintersemester

Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 6
23. November
Aufgabe 1 (Entwicklung von Wellenfunktionen):
Ein Teilchen im eindimensionalen unendlich hohen Kasten der Länge L wird im
Bereich [0, L] durch die Wellenfunktion ψ = N x(L − x) beschrieben.
a) Erfüllt ψ die Bedingungen für eine erlaubte Wellenfunktion?
b) Skizzieren Sie die Wellenfunktion über das Intervall x ∈ [0, L] hinaus.
c) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N und geben Sie die Wellenfunktion
im Intervall [0, L] an.
d) Ist ψ Eigenfunktion des TiK-Hamiltonoperators?
e) Vergleichen Sie den mit ψ erhaltenen Erwartungswert der Energie mit der
h2
Grundzustandsenergie (E1 = 8mL
2 ) des TiK.
f) ψ lässt sich als Linearkombination der Eigenfunktionen des TiK entwickeln:
ψ=
∞
X
r
cn
n=1
nπ 2
sin
x
L
L
Berechnen Sie den Entwicklungskoeffizienten der Grundzustandsfunktion.
g) Erklären Sie mit diesem Ansatz das unter e) gefundene Resultat.
Integrationshilfen:
Z
sin(ax) x cos(ax)
−
a2
a
2
Z
2x
x
2
2
x sin(ax)dx = 2 sin(ax) −
− 3 cos(ax)
a
a
a
x sin(ax)dx =
Aufgabe 2 (Teilchen im eindimensionalen Kasten):
Für ein Elementarteilchen ist folgendes Potential gegeben:
V = 0 für
−
L
L
<x<+
2
2
und
V = ∞ sonst
a) Stellen Sie die Hamiltonoperatoren der drei Definitionsbereiche auf und
bestimmen Sie jeweils die allgemeine Form der Wellenfunktion ψ.

L

ψI
∀x < −




2

L L
ψ = ψII ∀x ∈ − ,

2 2




L
ψ
III ∀x >
2
b) Ist ψ über den gesamten Definitionsbereich stetig differenzierbar?
c) Welche Werte haben hxi und hpx i für den ersten angeregten Zustand?
Stellt hxi den wahrscheinlichsten Wert für eine Einzelmessung des
Aufenthaltsorts des Teilchens dar?
d) Berechnen Sie den Betrag des Erwartungswerts für das Produkt ∆x∆px der
Unschärfen von Ort und Impuls ∆x = x − hxi und ∆px = p̂x − hp̂x i im
Grundzustand.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation für Ort
und Impuls (∆x∆px ≥ ~2 ).
e) Betrachten Sie das TiK als Modell der π-Elektronen von Butadien.
Skizzieren Sie das Zustandsdiagramm, indem Sie die Zustände des TiK nach
dem Aufbauprinzip mit den vier π-Elektronen des Butadiens besetzen.
Aufgabe 3 (Teilchen im dreidimensionalen Kasten):
Ein Elektron befindet sich in folgendem dreidimensionalen Potential:
V (x, y, z) = 0 für 0 < x < La , 0 < y < Lb , 0 < z < Lc
V (x, y, z) = ∞ sonst
mit La =1 nm, Lb =2 nm, Lc =3 nm.
a) Stellen Sie einen Ansatz für eine gültige Wellenfunktion ψ(x, y, z) innerhalb des
Kastens auf.
Wie viele Quantenzahlen erwarten Sie?
b) Berechnen Sie die erste Anregungsenergie (in eV; 1 eV = 1,602×10−19 J) des
Teilchens im dreidimensionalen Kasten.
Berechnen Sie hierzu zunächst den Eigenwert des Hamiltonoperators.
Konstanten: h=6,626×10−34 Js, me =9,109×10−31 kg
c) Nehmen Sie den Fall La = Lb = Lc = 1 nm an. Wie viele Zustände und wie
viele Energieniveaus gibt es mit E ≤ 4 eV?
Besprechung: 06./08. Dezember und 13./15. Dezember