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2.6.4. Überlagerung/Linearkombination von Eigenfunktionen
Annahme: System befindet sich in einem Zustand, der durch eine Wellenfunktion  n
beschrieben werden kann, die Eigenfunktion zum Operator Â ist (Eigenzustand).
Frage: Welcher Erwartungswert ergibt sich bei einer Serie von Messungen
der Observablen a?

a   n* Aˆ  n dx





  n* a n n dx  a n  n* n dx  a n
Antwort: Es ist der zugehörige Eigenwert.
Frage: Ist System immer in Eigenzustand?
Antwort: Nein, aber:
Jede Wellenfunktion   x  , die denselben Randbedingungen wie die  k gehorcht, kann als
Linearkombination
 x    c k k x 
k
ausgedrückt (man sagt „nach den  k entwickelt“) werden;
c k : Entwicklungskoeffizienten (komplexe Zahlen)
 Eigenfunktionen bilden vollständigen Satz.
(Vollständigkeit heißt, dass jede entsprechende Wellenfunktion entwickelt werden kann.)
Woher bekommt man die c k ?
 x    c k k x 
k
Jetzt Multiplikation von links mit  l * ( x) und Integration:




*
*
 l ( x) ( x)dx   l ( x) ck k ( x)dx
k


  ck  l* ( x) k ( x) dx  cl  l* ( x) l ( x)dx
k l




0
1


c k    l* ( x ) ( x ) dx

Erwartungswert

a    *  x Aˆ   x dx



  c  Aˆ  c 
*
l
*
l
k
 l
k
dx
k

  cl* c k  l* Aˆ  k dx
l

k

  cl* c k a k  l* k dx
l
k



0 für l  k
1 für l  k
a   c l* c l a l   c l a l
2

l
l
Normierung

  x  x dx  1
d.h. formal Aˆ  1
*


c c
*
l l

l
→ cl
2
c
2
l
1
l
ist Wahrscheinlichkeit des Auftretens von al bei Messungen von a am System im
Zustand  .