¨Ubungsblatt 8 zur Quantenmechanik Prof. K. Hornberger, M. Bola

Übungsblatt 8 zur Quantenmechanik
Prof. K. Hornberger, M. Bolaños, F. Kiałka, B. Schrinski, B. Stickler
Abgabe bis Donnerstag 29.6.2017 10:10 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 22 — Es wandert von Ort zu Ort
(9 Punkte)
Der Zustand eines Elektrons, das sich auf einer eindimensionalen periodischen Kette nur an den Orten
na aufhalten kann, werde durch den Hamiltonoperator
X
H=
ε|nihn| + κ|n + 1ihn| + κ|nihn + 1| ,
ε, κ ∈ R
n∈Z
beschrieben. Hier bezeichnet |ni einen am Ort na lokalisierten, orthonormierten Zustand, hn|mi =
δnm .
P
(a) Setzen Sie die Superposition |ψk i = n∈Z cn (k) |ni in die stationäre Schrödingergleichung ein
und leiten Sie eine Gleichung für die Koeffizienten cn (k) her (k ∈ R). [2 Punkte]
(b) Berechnen Sie die Energien E(k) indem Sie den Ansatz cn (k) ∝ eikan verwenden und stellen Sie
diese graphisch für k ∈ (0, 2π/a] dar. [2 Punkte]
(c) In Ortsdarstellung sei hx|nai = φ0 (x − na), mit φ0 (x) einer um Null zentrierten normierten Wellenfunktion. Zeigen Sie, dass Ta |ni = |n + 1i mit dem Translationsoperator Ta (siehe Aufgabe
20). Schlussfolgern Sie daraus, dass H mit Ta vertauscht, und überzeugen Sie sich davon, dass
die Zustände |ψk i auch Eigenzustände von Ta sind. Wie lauten die entsprechenden Eigenwerte?
Hinweis: Ta |xi = |x + ai [5 Punkte]
Aufgabe 23 — Es steigt hinab, es steigt empor
(9 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m im Potential eines harmonischen Oszillators der Frequenz ω sei im Zustand
r
2
mωx2
mω
1 mω 1/4
x exp −
1−2
.
hx|Ψi =
5 π~
~
2~
(a) Entwickeln Sie |Ψi in der Eigenbasis |ni des harmonischen Oszillators. [2 Punkte]
(b) Berechnen Sie die Matrixelemente hn | x | ni, hn | p | ni, hn | x2 | ni und hn | p2 | ni, indem Sie x und
p durch a und a† darstellen. [4 Punkte]
(c) Verwenden Sie (b), um zuerst hn | x | n0 i und dann den Erwartungswert hxi im Zustand |Ψi zu
bestimmen. [3 Punkte]
Aufgabe 24 — Es teilt den Kasten
Für das Teilchen der Masse m im eindimensionalen Potential
(
∞
|x| ≥ a
V (x) =
mit
γδ(x) x ∈ (−a, a),
(10 Punkte)
γ > 0,
machen wir den Ansatz ψ(−a < x < 0) = A sin(kx) + B cos(kx) und ψ(0 < x < a) = C sin(kx) +
D cos(kx).
(a) Stellen Sie die Rand- und Stetigkeitsbedinungen für die Wellenfunktion auf. [3 Punkte]
(b) Da das Potential eine gerade Funktion ist, sind die Eigenfunktionen entweder gerade oder ungerade. Bestimmen Sie die Energien der ungeraden Eigenfunktionen und leiten Sie die (transzendente)
Gleichung tan(ka) = −~2 k/mγ für die Energien der geraden Eigenfunktionen her. [5 Punkte]
(c) Bestimmen Sie die Energien in den Grenzfällen γ → 0 und γ → ∞. [2 Punkte]