Theoretische Physik II ¨Ubungsblatt Nr. 8 23.05.2006

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Theoretische Physik II
Übungsblatt Nr. 8
23.05.2006
[ Di 06.06., 08:30, D6-135 / Mi 07.06., 12:15, D6-135 / Do 08.06., 14:15, C01-243
Aufgabe 1: Betrachten Sie den harmonischen Oszillator, mit
r
r
mω
mω
p̂2
mω 2 x̂2
i
i
†
Ĥ ≡
p̂ , â ≡
p̂ .
+
, â ≡
x̂ + √
x̂ − √
2m
2
2~
2~
2~mω
2~mω
Seien |ni√die normierten Eigenzustände
des Hamilton-Operators, mit den Eigenschaften
√
↠|ni = n + 1 |n + 1i , â|ni = n |n − 1i . Berechnen Sie, für den Zustand |ni,
(a) hx̂i, hp̂i,
(b) hx̂2 i, hp̂2 i,
(c) ∆x ∆p .
Aufgabe 2: Bestimmen Sie, mit Hilfe der Reihenentwicklung aus Aufgabe 5.4, den
Heisenberg-Operator
iĤt
iĤt
x̂ exp −
,
x̂H (t) ≡ exp
~
~
wobei Ĥ der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist.
Aufgabe 3: Betrachten Sie die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen
i~
dx̂H
= [x̂H , Ĥ] ,
dt
i~
dp̂H
= [p̂H , Ĥ] ,
dt
wobei Ĥ wiederum der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist. Ausgehend
von den Tatsachen, daß Ĥ mit x̂H , p̂H statt x̂, p̂ ausgedrückt werden kann und daß
[x̂H (t), p̂H (t)] = i~ gilt, bestimmen Sie direkt die Lösung für x̂H (t).
Aufgabe 4: Die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators
genügen [â, â] = [↠, ↠] = 0 sowie [â, ↠] = 1. Außerdem sind die nicht-negativen
ganzen Zahlen die Eigenwerte des Operators N̂ ≡ ↠â. Betrachten Sie nun die Algebra
{b̂, b̂} = {b̂† , b̂† } = 0, {b̂, b̂† } = 1 und definieren wir Q̂ ≡ b̂† b̂.
(a) Was für ein Spektrum und welche Eigenzustände hat Q̂?
(b) Können Sie eine physikalische Interpretation für dieses Ergebnis vorschlagen?
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