Theoretische Physik II Übungsblatt Nr. 8 23.05.2006 [ Di 06.06., 08:30, D6-135 / Mi 07.06., 12:15, D6-135 / Do 08.06., 14:15, C01-243 Aufgabe 1: Betrachten Sie den harmonischen Oszillator, mit r r mω mω p̂2 mω 2 x̂2 i i † Ĥ ≡ p̂ , â ≡ p̂ . + , â ≡ x̂ + √ x̂ − √ 2m 2 2~ 2~ 2~mω 2~mω Seien |ni√die normierten Eigenzustände des Hamilton-Operators, mit den Eigenschaften √ ↠|ni = n + 1 |n + 1i , â|ni = n |n − 1i . Berechnen Sie, für den Zustand |ni, (a) hx̂i, hp̂i, (b) hx̂2 i, hp̂2 i, (c) ∆x ∆p . Aufgabe 2: Bestimmen Sie, mit Hilfe der Reihenentwicklung aus Aufgabe 5.4, den Heisenberg-Operator iĤt iĤt x̂ exp − , x̂H (t) ≡ exp ~ ~ wobei Ĥ der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist. Aufgabe 3: Betrachten Sie die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen i~ dx̂H = [x̂H , Ĥ] , dt i~ dp̂H = [p̂H , Ĥ] , dt wobei Ĥ wiederum der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist. Ausgehend von den Tatsachen, daß Ĥ mit x̂H , p̂H statt x̂, p̂ ausgedrückt werden kann und daß [x̂H (t), p̂H (t)] = i~ gilt, bestimmen Sie direkt die Lösung für x̂H (t). Aufgabe 4: Die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators genügen [â, â] = [↠, ↠] = 0 sowie [â, ↠] = 1. Außerdem sind die nicht-negativen ganzen Zahlen die Eigenwerte des Operators N̂ ≡ ↠â. Betrachten Sie nun die Algebra {b̂, b̂} = {b̂† , b̂† } = 0, {b̂, b̂† } = 1 und definieren wir Q̂ ≡ b̂† b̂. (a) Was für ein Spektrum und welche Eigenzustände hat Q̂? (b) Können Sie eine physikalische Interpretation für dieses Ergebnis vorschlagen? ]