QUANTENMECHANIK

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Modul CHE-BSc-M11 Struktur der Materie
Vorlesung: Prof. B. Dick
Übung: Prof. A. Slenczka
Übungen zur Vorlesung
QUANTENMECHANIK
1. Tunneleffekt
Ein freies Teilchen (V=0) trifft auf eine Barriere der potentiellen Energie V, deren Wert die
kinetische Energie des Teilchens übertrifft. Die Barriere hat eine Dicke von L.
a) Notieren Sie die Schrödinger-Gleichung für dieses Teilchen vor, in und hinter der Barriere.
b) Formulieren Sie einen Ansatz für die Wellenfunktion des Systems.
c) Nennen Sie die Randbedingungen für das System.
d) Skizzieren Sie eine Wellenfunktion des obigen Systems.
e) Welche Beiträge aus b) bleiben für den Fall, dass L unendlich groß wird?
f) Skizzieren Sie die Wellenfunktion für den Fall e).
g) Bestimmen Sie die Eindringtiefe des Teilchens in die Barriere für den Fall e). (Hinweis:
Erwartungswert!)
2. Harmonischer Oszillator
Der quantenmechanische harmonische Oszillator hat das klassische Potential
.
a) Geben Sie die Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators an.
b) Geben Sie die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators in Abhängigkeit der
Parameter aus der Schrödingergleichung an.
c) Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort und Impuls des harmonischen Oszillators im
Grundzustand.
d) Vergleichen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung des klassischen und des
quantenmechanischen harmonischen Oszillators bei folgenden Gesamtenergien: E = 0;
E = 0.5 h; E = 200.5 h. Diskutieren Sie diese Aufgabe in einer Graphik, die das
harmonische Potential zeigt und bei den entsprechenden Energien die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung entlang der Oszillatorachse.
e) Tragen Sie in ein harmonisches Potential die Wellenfunktionen der ersten vier
Energiezustände ein und benennen Sie charakteristische Eigenschaften der Wellenfunktionen.
f) Geben Sie den Erwartungswert der Ortskoordinate des harmonischen Oszillators für einen
Energiezustand der Quantenzahl n an.
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