2. Präsenzübung zur Quantenmechanik Wintersemester 2016/17

Prof. Dr. Pawel Romanczuk
30.11.2016
2. Präsenzübung zur
Quantenmechanik
Wintersemester 2016/17
HU-Berlin - Institut für Biologie
Theoretische Biophysik
Raum 502, Raum 518
Björn Goldenbogen, Martin Seeger
Aufgabe 1 Qualitative Quantenmechanik
Betrachten Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung
−
~2 ∂ 2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x).
2m ∂x2
a) Schreiben Sie diese um in
−
∂2
ψ(x) = k(x)2 ψ(x).
∂x2
Wie lautet k(x)?
b) Geben Sie Bedingungen an, unter denen k(x) reell bzw. imaginär ist.
k(x) ist ein lokaler“ Wellenvektor bzw. Wellenzahl. Damit können Sie qualitative
”
Quantenmechanik betreiben. Skizzieren Sie typische Lösungen der Schrödingergleichung für folgende Potentiale, sowie die Potentiale selbst. Welche Wellenfunktionen
beschreiben gebundene, welche Streuzustände?
c) V (x) = V0 e−x für E > 0,
d) V (x) = V0 (x4 − x2 ) für E > 0,
e) V (x) = V0 (x4 − x2 ) für −V0 /4 < E < 0.
Aufgabe 2 Grundzustandsenergie beim harmonischen Oszillator
Der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators lautet H =
P2
2m
+
mω 2
X 2.
2
a) Drücken Sie den Erwartungswert hHi des Hamiltonoperators in einem beliebigen Zustand durch die Erwartungswerte und quadratischen Unschärfen von
Ort und Impuls hXi, hP i, h∆X 2 i, h∆P 2 i aus.
b) Welche Werte besitzen die linearen Erwartungswerte im Grundzustand? Setzen
Sie ein und eliminieren Sie h∆P 2 i durch die Heisenbergsche Unschärferelation.
c) Minimieren Sie die entstandene Funktion von h∆X 2 i.
d) Vergleichen Sie das Minimum der Energie mit der Grundzustandsenergie des
harmonischen Oszillators.