Anwesenheitsübung A2

Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
SoSe 17
Prof. Dr. Julia Tjus
Mehmet Gündüz ([email protected])
Mario Hörbe ([email protected])
Frederik Tenholt ([email protected])
Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73
Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73
Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173
Anwesenheitsübung A2
Der harmonische Oszillator ist ein Musterbeispiel für die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der
klassischen Mechanik vs. der Quantentheorie; einige davon sollen nachfolgend gefunden werden.
Aufgabe A2.1 Der klassische harmonische Oszillator
(a) Stelle die Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators auf, gegeben durch
H=
X
q̇k ·
k
∂L
−L
∂ q̇k
.
(1)
Des Weiteren beschreibt die Hamilton-Funktion die Gesamtenergie E eines Systems, falls
Wie lautet die minimale Energie des klassischen harmonischen Oszillators?
∂H
∂t
= 0.
(b) Berechne jeweils die zeitlichen Ableitung des generalisierten Ortes und Impulses
q̇k =
∂H
∂pk
ṗk = −
und
∂H
∂qk
.
(2)
(c) Stelle, ausgehend von Deinem Ergebnis aus Aufgabe (a), den quantenmechanischen HamiltonOperator Ĥ auf.
(d) Berechne
∂hx̂i
∂t
und
∂hp̂i
∂t
über das Ehrenfest-Theorem
iE
∂â
i Dh
∂
hâi =
+
Ĥ, â
∂t
∂t
~
(3)
und vergleiche Deine Ergebnisse mit denen aus Aufgabe (b).
Aufgabe A2.2 Der quantenmechanische harmonische Oszillator
(a) Schätze die minimale Energie des quantenmechanischen
harmonischen Oszillators mit Hilfe der
D E
Heisenbergschen Unschärferelation und E = Ĥ ab. Vergleiche Dein Ergebnis mit dem minimalen Energiewert des klassischen harmonischen Oszillators aus Aufgabe A2.1a.
Hinweis: Die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators, welche hier nicht ausformuliert
2
werden müssen, sind von der Form Ψ ∝ e−x .
(b) Betrachte den Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators als die Summe zweier quadratischer Terme u2 und v 2 und faktorisiere diese in zwei neue Größen a+ und a− via
!
Ĥ = u2 + v 2 = a+ a−
.
(4)
Was ergibt sich jeweils für a+ und a− ?
(c) Finde einen Ausdruck des Hamilton-Operators in Abhängigkeit von a+ und a− . Berechne dazu
zum Beispiel a+ a− Ψ.
(d) Was ergibt sich für den Kommutator von a+ und a− ?