harmonischen Oszillators

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Quantenmechanische Betrachtung des harmonischen Oszillators:
klassisch:
!
F( ∆x ) = − D ⋅ ∆x Die Bedingung für eine harmonische Schwingung.(Rückstellkraft ist
proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage)
Î Differentialgleichung 2. Ordnung:
F( ∆x ) = m ⋅ a = m ⋅
d 2 ∆x
= − D ⋅ ∆x
dt 2
Lösung der Dgl.:
∆x(t ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t ) hierbei ist ω die sog. Kreisfrequenz ω =
2π
= 2π ⋅ v
T
Vergleicht man die zweite Ableitung von ∆x nach der Zeit (Beschleunigung a) mit der
Schwingungsgleichung und der Differentialgleichung ergibt sich die Schwingungsfrequenz
eines harmonischen Oszillators zu: (vgl.: Tipler S.382 3.edition)
v=
1
2π
D
m
(never forget this one!) Bei einer Atombindung ist D ≈ 500 N/m
Diese Gleichung gilt aber nur für ein Teilchen welches, durch z.B. eine Sprungfeder, mit einer
unendlich großen Masse verbunden ist.
Betrachtet man zwei verbundene, raumfreie und ähnlich große Massen so muss mit der sog.
Reduzierten Masse gerechnet werden:
mred ≡
v=
1
2π
m1 ⋅ m2
m1 + m2
Modell eines Moleküls
D
mred
Je größer D desto stärker die Bindung, desto größer die Eigenfrequenz des Oszillators. Je
größer mred desto kleiner fällt die Schwingungsfrequenz aus. Dies ist bei schweren Atomen
der Fall.
Die Potentielle Energie:
E
∆x
1
D ⋅ (∆x) 2
2
0
0
Potentielle Energie des Moleküls bei einer Auslenkung von ∆x aus der Ruhelage.
nach E ≡ F ⋅ ∆x F abh. von ∆x Î ∫ dE pot = ∫ − D ⋅ ∆x ⋅ d∆x Î E pot (∆x) =
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Graphisch:
Die Graphik zeigt den parabelförmigen
Verlauf der Potentiellen Energie in
Abhängigkeit der Auslenkung aus der
Ruhelage. Ist die „Feder“ einmal ausgelenkt
führt das System eine harmonische
Schwingung aus (einfachstes Modell einer
schwingenden Atombindung).
Durchläuft die Schwingung nun die
ehemalige Ruhelage, ist die gesamte
Potentielle Energie in kinetische
umgewandelt worden. Die Gesamtenergie des
schwingenden Systems setzt sich also aus
Kinetischer und Potentieller Energie
zusammen. An den Umkehrpunkten (∆xmax =
Amplitude A der Schwingung) ist die
Potentielle Energie maximal, die kinetische
null.
E = E kin + E pot =
1
D ⋅ ( ∆xmax ) 2
2
Nun kommt die Quantenmechanik:
Bei Molekülen Î Energie ist quantisiert Î nur bestimmte Werte sind für E erlaubt Î nur
bestimmte Maximalauslenkungen ∆xmax sind erlaubt.
Um die Erlaubten Energieniveaus zu bestimmen muss man die Schrödingergleichung für das
System lösen und die Eigenwerte der erhaltenen Wellenfunktion bestimmen. (Vgl. Die
Schrödingergleichung unter PC) Î Man muss vorher Mathematik Studieren um die
vollständige Herleitung zu durchschauen! (Spätestens bei den Hermitischen Polynomen
scheitert der normale Chemiestudent)
Die wichtigsten Ergebnisse:
Die Gleichung (zeitunabh. eindimensionale SG):
2
= 2  d Ψ( ∆x )
−
2m  d (∆x )2
 1
 + D ⋅ (∆x )2 ⋅ Ψ( ∆x ) = E ⋅ Ψ( ∆x )
 2

Lösung:
Ψn = N n ⋅ H ( y ) n ⋅ e
− y2
2
wobei y proportional zu ∆x
Hierbei ist N die von n abh. Normierungskonstante und H ein von n abh. (Hermitischer)
Polynom.
n = 0,1,2,3,4,5,6,7…….
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Für die Grundschwingung ist n = 0 Î Hn = H0 =1 und Nn = N0
Î Wellenfunktion für die Grundschwingung ist eine sog. Gaußkuve. (siehe 10DM Schein)
Ψ0 = N 0 ⋅ 1 ⋅ e
− y2
2
= Gaußkurve
Die erlaubten Energieniveaus (Eigenwerte der entsprechenden Wellenfunktionen) des
Harmonischen Oszillators ergebenn sich zu:
1

E n =  n +  ⋅ h ⋅ν
2

wobei v =
1
2π
D
mred
n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…
Î E0 = ½ hv
Î E1 = 1 ½ hv
Î E2 = 2 ½ hv
Î E3 = 3 ½ hv
Î E4 = 4 ½ hv
Î E5 = 5 ½ hv
Î ∆E = 1 ⋅ hν Î Resonanzbedingung: ∆E = E phot = h ⋅ν = h ⋅ υ
Damit die Schwingung eines Moleküls
angeregt wird muss, nach dem
harmonischen Ansatz, die Frequenz des
Lichtes mit der Schwingungsfrequenz der
Atombindung übereinstimmen.
Die Frequenz ist dabei unabhängig in
welchem Niveau sich der Oszillator
befindet. Î Anregung von En nach En+1
Î Absorption einer bestimmten
Wellenlänge
Wichtige Stichpunkte:
•
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Je höher die Teilchenmasse, desto kleiner die Eigenfrequenz v der Bindung, desto
näher rücken die Energieniveaus zusammen. (Î höhere Schwingungsniveaus können
bereits bei niedriger Temperatur angeregt werden Î höhere Wärmekapazität)
Für Makroskopische Massen hat die Energiequantelung keine Bedeutung (nicht
messbar da m riesig) . Die Energiequantelung erklärt aber warum makroskopische
Körper eine charakteristische Eigenfrequenz besitzen.
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Der Abstand hv ist wie erwähnt für makroskopische Objekte vernachlässigbar klein,
wird aber wichtig bei atomaren Größenordnungen.
ν von chemischen Bindungen liegt bei ca. 9E1013Hz. EM-Strahlung mit dieser
Frequenz besitzt eine Wellenlänge von 3000nm. Diese Wellenlänge liegt im Bereich
von Infrarotstrahlung.
Das die Energiedifferenz zwischen zwei Wellengleichungen (Eigenfunktionen der
zugehörigen Schrödingergleichung) von einen chemischen Bindung im Energiebereich
von Quanten infraroter Strahlung liegt, macht man sich zur Strukturaufklärung bei der
IR-Spektroskopie zunutze.
Das Modell des Harmonischen Oszillators beschreibt die Schwingungen in Molekülen
zwar qualitativ sehr gut, entspricht aber nicht 100%ig der Realität. (Siehe
anharmonischer Oszillator).
Beim Harmonischen Ansatz darf ein Übergang nur zwischen zwei benachbarten
Energieniveaus erfolgen. ( ∆n = ±1 ). Das Auftreten von sog. Oberschwingungen
(z.B. ∆n = ±2 ) ist somit nicht zu verstehen. Das der Quantensprung nur 1 betragen
darf nennt man spezielle Auswahlregel. Spezielle Auswahlregeln geben Auskunft
welche Übergänge erlaubt sind und welche nicht.
Auf atomarer Ebene kann ein Oszillator niemals die Energie 0J besitzen. (n müsste
-1/2 sein).
Mathematischer Grund: Für n<0 und/oder n halbzahlig wird die Wellenfunktion
unsinnig.
Physikalischer Grund: ∆x = 0 Î Ort des Teilchens ist exakt gegeben Î
1
Heisenbergsche Unschärferelation wird verletzt. ( ∆x ⋅ ∆p ≥ = )
2
Oder anders ausgedrückt: Eine Welle ohne Energie gibt es nich.
Bitte auch anharmonischen Oszillator lesen.
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