1 8. Messung von Observablen in der Quantenmechanik. Die

9. Woche 13/14-6-17
8.
Messung von Observablen in der Quantenmechanik.
Die Heisenberg´sche Unschärferelation
Am Messprozess sind beteiligt:
Das Messobjekt
Die Messapparatur
Der Beobachter
Die Messung ist dann, grob gesagt, eine wechselseitige Beeinflussung zwischen Messobjekt,
Messapparatur und Beobachter.
Klassische Physik: Diese Wechselwirkung kann vernachlässigbar klein gemacht werden.
Quantenmechanik: Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messapparatur ist nicht
vernachlässigbar. Das Einschalten der häufig makroskopischen Messapparatur führt zu einer
unkontrollierten Störung des häufig mikroskopischen Messobjekts. Die Messung ändert den
Zustand des Messobjekts  Zustandsreduktion (3. Postulat), d.h. bei unmittelbar
anschließender zweiter Messung befindet sich das Messobjekts in der Regel in einem anderen
Zustand als vor der Messung.

Kombinierte Messung zweier Observablen A und B
Es sei   n  a n  n
und B̂ n  b n n . Wir unterscheiden folgende zwei Fälle:
1. Fall: Die den Observablen A und B zugeordneten Operatoren  und B̂ sind vertauschbar
[ Â, B̂]  0 . Dann besitzen sie einen gemeinsamen VONS, {  n } .
Eine A-Messung im Zustand  ergibt den Messwert an mit Prob ( a = an )   n 
2
und
reduziert  (vor der Messung) auf den zu a n korrespondierenden Eigenzustand  n des
Operators  .
Eine sofort anschließende B-Messung ergibt mit Sicherheit den Wert bn, denn
Prob ( b = bn | a = an )   n  n
2
1 .
1
2. Fall: [ Â, B̂]  0 , d.h., Â und B̂ besitzen unterschiedliche VONS, {  n } bzw. { n } .
Nach der A-Messung befindet sich das Messobjekt nicht in einem Eigenzustand von B̂ .
Deshalb ist Prob ( b = bn | a = an )  n  n
2
 1.
Schlussfolgerungen aus diesem Gedankenexperiment: 1) Werden zwei Observable zeitnah in
unterschiedlicher Reihenfolge gemessen, kann das Ergebnis unterschiedlich sein.
2) Zwei Observable sind in der Quantenmechanik nicht gleichzeitig scharf messbar, wenn die
zugeordneten Operatoren  und B̂ nicht kommutieren.
Diese Schlussfolgerungen aus dem Gedankenexperiment einer kombinierten Messung von
zwei Observablen A und B werden durch die Angabe folgender objektiven unteren Schranke
für die Streuung der Messwerte quantifiziert:
A  B 
1
2
[ Â, B̂]
 verallgemeinerte Heisenberg´sche Unschärferelation.
Unter der Streuung der Messwerte sind deren mittlere quadratische Schwankungen um den
quantenmechanischen Erwartungswert im Zustand  zu verstehen, also z.B. für die
Observable A der Ausdruck
A :
( Â ) 2 
( Â  Â )2 
 ( Â   Â  ) 2  
 Â 2   (  Â  ) 2 .
Noch einmal: Die durch die Unschärferelation gegebene Schranke ist objektiver Natur,
insbesondere kann sie durch noch so geniale Messapparaturen nicht unterschritten werden.
Der Beweis basiert darauf, dass  und B̂ hermitesche Operatoren sind. Mit  und B̂ sind
auch  Â  Â  Â und  B̂  B̂  B̂ hermitesch. Wir führen den (nichthermiteschen)
Operator Q̂ : Â  i B̂ ,  reell ein, und betrachten die Funktion
f ( )   Q̂  Q̂   Q̂  Q̂  : f ( )  0 für alle  .
2
Als quantenmechanischer Erwartungswert des hermiteschen Operators Q̂  Q̂ ist f ( ) positiv
definit. Wir haben
f ( )  ( Â  i B̂) ( Â  i B̂)  ( Â ) 2  i B̂ Â  Â B̂  2 ( B̂) 2 









0
0
 :  [ Â ,B̂ ]
:   i    2 .
Die Größen  und  sind positiv reell, denn für jeden hermiteschen Operator F̂ gilt
F̂2   F̂ F̂   F̂  F̂   F̂  F̂   0 .
Dagegen ist  rein imaginär, weil 2 negativ ist
 2  [ Â, B̂]
2
 [ Â, B̂]
2
*
  [ Â, B̂] [ B̂, Â ]   [ Â, B̂] [ Â, B̂]   [ Â, B̂]
2
0.
Dabei haben wir im vorletzten Schritt verwendet, dass für hermitesche Operatoren
*
[ Â, B̂]  [ B̂, Â] gilt, denn
[ B̂, Â ]  B̂Â  ÂB̂   B̂Â    ÂB̂   Â B̂    B̂ Â   
*
  Â B̂    B̂ Â 
*
*
*
  Â B̂  B̂ Â   [ Â, B̂] .
Die positiv definite Funktion f ( )    i    2 besitzt bei    min 
Minimum, denn f ' ( min )  2   min  i  0 und f ''
 min
i
ein lokales
2
 2   0 . Der Funktionswert an der
2
 i 
 i 
i
2
Stelle  min ist gleich f      i       
 0 . Nach Multiplikation mit   0
2
4
 2 
 2 
1
2
[ Â, B̂]
folgt daraus     , also ( Â) 2  ( B̂) 2 
4
4
2
, d.h. wie behauptet
3
A  B 
1
[ Â, B̂]
2
für     , B̂  B̂ .
Merke: Sind  und B̂ hermitesch, dann ist [ Â, B̂]   [ B̂,  ]   [ Â, B̂] : Nicht [ Â, B̂] sondern
i [ Â, B̂] ist hermitesch. Deshalb ist der quantenmechanische Erwartungswert i.a. nicht reell.

Energie-Zeit-Unschärfe E t 

2
Die Zeit ist in der Quantenmechanik ein Parameter, der nicht als Eigenwert eines Operators t̂
aufgefasst werden kann.
Es gibt verschieden Möglichkeiten, die Energie-Zeit-Unschärfe an Beispielen verständlich zu
machen.
A: Wir beschreiben das freie Teilchen durch einen Wellenzug (Wellenpaket) der Länge x .
p2
x
Für die Strecke x benötigt das Teilchen die Zeit t ~
. Wegen E ~
ist die
p /m
2m
p p
. Daraus folgt unter Verwendung der Orts- Impulsm
1

[ x̂, p̂]  i  
2
2
Energie-Unschärfe etwa E ~
Unschärfe x  p 
E  t ~
1
2
p p x


 x  p  .
m
p /m
2
B: Angenommen, Â und Ĥ sind nicht explizit zeitabhängig. Dann ist
i

d
  [ Â, Ĥ ] .
  [ Â, Ĥ ]  i
t
dt
Aus der verallgemeinerten Unschärferelation folgt
A  H 
1
2
[ Â, Ĥ ]

 d
Â
2 dt
bzw.
H 
A

 .
d
2
Â
dt
4
Wir führen nun für die Observable A das Zeitintervall Δt ein, indem sich der quantenmechanische Erwartungswert  gerade um die mittlere quadratische Schwankung A
verschiebt, d.h. t :

A
. Da Ĥ die Energie E repräsentiert, "folgt" E  t  .
d
2
Â
dt
Befindet sich ein quantenmechanisches System im Eigenzustand des zeitunabhängigen Ĥ ,
also in einem stationären Zustand, dann ist
Widerspruch zu E  t 
d
  0 und t divergiert. Das steht nicht im
dt

, da in diesem Zustand E scharf, also E  0 ist.
2
Wir werden auf die Energie-Zeit-Unschärfe E  t   / 2 im Kapitel zeitabhängige
Störungstheorie zurückkommen, wenn wir den Zusammenhang zwischen der Lebensdauer
angeregter Zustände und den Breiten der Spektrallinien emittierter Photonen diskutieren.
■
Als Beispiel für Anwendungen bzw. Konsequenzen der Unschärferelation betrachten
wir noch einmal die Energie des Grundzustandes beim 1D harmonischen Oszillator
klassisch: E 
p 2 m2 2

x , "Grundzustand" E = 0 ist möglich.
2m
2
1


 0.
quantenmechanisch: E n    n   , n  0, 1, 2, ... , also E n 
2
2

Frage: Wieso? Antwort: E = 0 impliziert x = 0 und p = 0, die wegen der Unschärferelation
aber gar nicht gleichzeitig scharf gemessen werden können.
Im Detail: Die zu E0 korrespondierende Wellenfunktion des Grundzustands
1/ 4
m
 m   2  x 2
0 (x)  
ist gerade, d.h., wir haben p̂  x̂  0 .
e

  
5
Aus x  p 

2
folgt deshalb p̂ 2 x̂ 2 
, also für die Energie die untere Schranke
2
4
p̂ 2
m2 2
m2 1  2


(H). Ableitung nach
E
x 
2m
2
2m
2 p̂ 2 4
p̂ 2
1 m2 2 1
für das Energieminimum

2m
8
p̂ 2
Eingesetzt in (H) folgt E min 
2
 0 , d.h., p̂ 2
min

p̂ 2
liefert als Bedingung
m
.
2

m 1 m2 2 2
.


2 2m
8 m
2
Schlussfolgerung: Die Grundzustandsenergie des 1D harmonischen Oszillators ist der kleinste
Wert der Energie, der mit der Unschärferelation vereinbar ist.
6
9.
Bewegung im Zentralfeld
Motivation: Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass das 2-Körper-Problem mit abstandsabhängiger Wechselwirkung auch in der Quantenmechanik auf die Bewegung in einem
effektiven Zentralfeld reduziert werden kann.
9.1
Klassische Beschreibung (nichtrelativistisch)
Im Kurs Mechanik haben wir die 3D Bewegung im Zentralfeld U ( r ) , r = | r |, unter
Ausnutzung von Energie- und Drehimpulserhaltung entsprechend
m 2 2 2
(r  r  )  U(r )  E bzw. m r 2   L
2
(9.1)
auf eine 1D Bewegung im effektiven Potenzial
KM
U eff
( r )  U( r ) 
L2
2mr 2
(9.2)

Zentralfeldbarriere
zurückgeführt. In (9.1) sind r und  ebene Polarkoordinaten in der Bahnebene (L = const)
und der Koordinatenursprung liegt im Zentrum des Kraftfeldes. Die klassisch möglichen
Bahnkurven sind Ellipsen für alle Werte der Energie im Intervall Emin < E < 0, Hyperbeln für
positive Werte E > 0 (Streuung) und Kreisbahnen für E = 0. Aus (9.1) folgt
r
r():
(r )   0   dr 
r0
9.2
r
2
L
.
2m E  U eff (r )
(9.3)
Quantenmechanische Beschreibung
Nichtrelativistisch und ohne Berücksichtigung des Spins müssen wir die stationäre
Schrödinger-Gleichung lösen, die in Ortsdarstellung und bei Verwendung von sphärischen
Koordinaten die Form (vgl. 7.12)
7
2
L̂
2 2
2 1   2  
Ĥ  n  m ( r, , )  E  n  m ( r , , ) , Ĥ  
  U( r )  
r
  U( r ) 
2
2m r 2
2m
2m r r  r 
(9.4).
2
Die Operatoren Ĥ , L̂ und L̂ z haben gemeinsame Eigenfunktionen, denn
Ĥ, L̂  2mr1 L̂ , L̂  0,  Ĥ, L̂   2mr1 L̂ , L̂  0 ,
2
2
2
2
z
2
2
da L̂ und L̂ z nicht auf Funktionen von r,

2
z

wirken.
r
Reduktion der 3D Bewegung in U ( r ) auf eine 1D Bewegung in U QM
eff ( r )
In Ortsdarstellung ist
Ĥ  n  m ( r , , )  E  n  m ( r , , )
(9.5)
zu lösen. Mit dem Ansatz Separationsansatz
 nm ( r , , )  R n ( r ) Ym (, )
folgt aus (9.4) nach Multiplikation mit
(9.6)
r2
R n Ym
2
1 d  2 dR n  2
1
1
2
2
L̂ Ym (, )  0 .

r
  r U( r )  r E 
2m Ym (, )
2 m R n ( r ) dr 
dr 


 

unabhängig von  und       const
unabhängig von r     const
Daraus ergeben sich für den Radialanteil und den Winkelanteil der Wellenfunktion die
Gleichungen

2
 2 1 d  2 dR n  

   U ( r )  2  R n  E R n bzw. L̂ Ym (, )  2m  Ym (, )
r
2
dr  
r 
2 m r dr 
(9.7)
8
2
Die rechte Gleichung (9.7) ist das Eigenwertproblem für den Operator L̂ , das wir bereits in
Kap. 7.2 gelöst haben. Deshalb ist 2m    2 (   1) , also

2
 (   1)
2m
(9.8)
und Ym (, ) sind die Kugelflächenfunktionen
Ym (, ) 
2  1 (   m )!
Pm (cos ) exp( i m )
4
(   m )!




  Anteil
  Anteil
Normierung entsprechend ( 7.17 )
mit   0,1, 2 ... und m  0,  1,  2, ... ,   , vgl. (7.15).
Merke: Für alle zentralsymmetrischen Potenziale U(r) stellen die Kugelflächenfunktionen
Ym (, ) den Winkelanteil der Wellenfunktion.
Von der expliziten Form des Potenzials U(r) hängt lediglich der Radialanteil R n ( r ) der
Wellenfunktion ab. Durch die Substitution (r ) : r R (r ) , also
1
dR
1 1 d d  2 dR  d 
d 
d d
d 2
d 2
R ( r )  ( r ) ,
,

r 2  r 2 ,
 2 
   r   
r
r
dr
r
r dr dr  dr  dr 
dr 
dr dr
dr
dr
lässt sich die linke Gleichung in (9.7) vereinfachen. Mit (9.8) folgt

 2 d 2  n 
 2 (   1) 


U
(
r
)
 n ( r )  E  n ( r ) ,  n ( r )  r R n ( r ) , (r  0)  0 .

2 m dr 2
2 mr 2 

(9.9)
(9.9) ist die stationäre Schrödinger-Gleichung für die 1D Bewegung eines Teilchens der
Masse m im effektiven Potenzial
U QM
eff ( r )  U ( r ) 
 2  (   1)
.
2mr 2
(9.10)
9
Damit ist die Reduktion der 3D Bewegung im Zentralfeld U(r) auf eine 1D Bewegung in
einem effektiven Potenzial in Analogie zur klassischen Mechanik abgeschlossen. Das Quadrat
2
des Drehimpulses L in der Fliehkraftbarriere (9.2) ist in (9.10) durch die Eigenwerte des
2
Operators L̂ ersetzt. Die zusätzliche Randbedingung (r  0)  0 in (9.9) verhindert, dass
R n ( r ) an der Stelle Null divergiert.
Anschaulich ist die Funktion  n ( r ) als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in einer
Kugelschale zu interpretieren: Der Ausdruck
2

 n ( r ) dr  R n ( r ) r dr  d  d sin  Ym (, )
0
0



2
2
2
2
 1  Mittelung über alle Richtungen
gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das quantenmechanische Teilchen im Abstand
r (r, r  dr ) vom Kraftzentrum anzutreffen ist.
10
Einschub:
Darstellungsunabhängige Abspaltung der Radialbewegung
Klassische Mechanik: p  p r e r  p  mit p r 
pr
r
.
L2
Unter Berücksichtigung von L  r  p  r p  folgt sofort p  p  2
r
2
Quantenmechanik:
Wir können den Radialimpuls p r 
pr
r
Bohr´schen Korrespondenzprinzips durch den Operator p̂ r 
2
r
(A)
nicht einfach auf der Basis des
p̂  r̂
r̂
ersetzen. Dieser Operator
wäre nicht einmal hermitesch, da p̂ und r̂ nicht kommutieren. Stattdessen ist die
symmetrisierte Form
p̂ r 
1  r̂  p̂ p̂  r̂


2  r̂
r̂



zu verwenden. Denkbar wäre jede Kombination p̂ r  
(B)
r̂  p̂
r̂
 (1  )
p̂  r̂
r̂
; die Forderung
p̂ r  p̂ r und die kanonische Vertauschungsrelation r̂ , p̂ r   i führen aber auf   1 / 2

(Prüfen)
L̂2
Auf der Basis von (B) erhalten wir die zu (A) äquivalente Operator-Identität p̂  p̂  2 und
r
2
2
r
damit die Schrödinger-Gleichung
 p̂ 2r
 2  (   1) 


n  m s  En n  m s .
U
(
r̂
)
 2m
2 m r̂ 2 

In Ortsdarstellung ergibt sich wieder (9.9), denn p̂ r n  m s 
r
1 r
( i)  ( i)

r
2 r
weil
  1
i  r  3 1 r 

  ( r )   2  r  r  r  r   ( r )  i   r  r   ( r ) ,



1 
1



 
  r e r e r
.
r
r   ( r e r )  e r
 e
 e
r 
r sin    
r
r
 r
11
10.
Wasserstoff-Atom (H-Atom)
Die theoretische Deutung der umfangreichen experimentellen Daten zu den Atomspektren
war einer der ersten wichtigen Erfolge der Quantenmechanik.
Im Fall des H-Atom wechselwirken ein Elektron (me, - e) und ein Proton (mp, e) über das
abstandsabhängige Coulomb-Potenzial (äußere Felder werden vernachlässigt). In der
Ortsdarstellung wird der Zustand des H-Atoms beschrieben durch die Wellenfunktion
i
 Et
~
 (r e , r p , t )   (r e , r p ) e  ,
(10.1)
2
wobei  (r e , r p ) d 3 re d 3 rp die Wahrscheinlichkeit angibt, das e- und das p in infinitesimalen
Volumenelementen um die Orte r e bzw. r p zu finden.
Wie in der klassischen Mechanik, werden wir das Zwei-Körper-Problem auf eine 1D
Bewegung im Zentralfeld zurückführen. Danach nutzen wir die Ergebnisse aus Kap. 9 und
bestimmen die Bindungszustände im Fall des anziehenden Coulomb-Potenzials, indem wir
Gleichung (9.9) für
U(r )  

e2
,  :
40
r
(10.2)
lösen. Die so erhaltenen Ergebnisse entsprechen der nichtrelativistischen Behandlung des HAtoms ohne Berücksichtigung der Spins von Elektron und Proton.
2
2
Wegen H(p e , p p , r e , r p )  p e / 2m e  p p / 2m p  U(| r p  r e|) hat die zu lösende stationäre
Schrödinger-Gleichung die Form
~
Ĥ  (r e , r p )  E  (r e , r p ) , mit
Ĥ  
2 2 2 2
e 
 p  U(| r p  r e|) .
2m e
2m p
(10.3)
12
10.1
Schwerpunkts- und Relativbewegung
Wie in der klassischen Mechanik führen wir Schwerpunkts- und Relativkoordinaten ein
R :
me r e  mp r p
M
, r : r p  r e .
(10.4)
Im Fall des H-Atoms ist me / mp ~ 1/2000 ~ 5.10-4 . Also ist die Gesamtmasse M in guter
Näherung gleich der Protonenmasse und die reduzierte Masse  stimmt in gleicher Näherung
mit der Elektronenmasse überein
 m 
memp
me
M : m e  m p  m p 1  e   m p ,  :

 me .
 m 
m
m
m

e
p
e
p


1
mp
Aus (10.4) folgt  e 
m
me
 R   r ,  p  p  R   r und wegen
M
M

,   0
R
r

2
2

 2  me
2  mp



R r  
 R   r  

2m e  M
 2m p  M

2

1  2  2  m e
 2 2  2  1
   mp


R 

r 
 R  r 
 r  R 



2M
2  me mp 
2m e  M
 2m p  M


.

Also hat die Schrödinger-Gleichung (10.3) bei Verwendung von Schwerpunkts- und
Relativkoordinaten die Form
~
Ĥ  (R , r )  E  (R , r ) , mit
Ĥ  
2 2 2 2
R 
 r  U(r ) .
2M
2
Mit dem Separationsansatz  (R , r )   R (R ) (r ) folgt
13
 2 2

2 2

 R  R (R )  2  r  U(r ) (r )
~
~

2M

 E wobei E : E R  E .
 (R )
(r )


R 
unabh . von r  setze gleich E R
unabhängig von R  setze gleich E
2 2
Der erste Term führt auf die Gleichung 
 R  R (R )  E R  R (R ) mit der Lösung
2M
i
 R (R ) 
PR
1
e
.
3/ 2
(2 )
(10.5)
2
P
Dabei ist E R 
und P  M R der Gesamtimpulses P̂ ("freies Teilchen").
2M
Der zweite Term führt auf die Schrödinger-Gleichung der Relativbewegung
 2 2

  2  r  U( r )  ( r )  E  ( r )


(10.6)
die in sphärischen Koordinaten die Form (9.4) annimmt.
FAZIT: Wie in der klassischen Mechanik entkoppelt die freie (da keine äußeren Felder)
Translationsbewegung des Schwerpunkts von der potentialabhängigen Relativbewegung.
Die Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron kann als Bewegung eines fiktiven
Teilchens mit der Masse  im zentralsymmetrischen Potenzial (10.2) beschrieben werden.
Damit sind die Resultate aus Kapitel 9 für die Winkelanteile der Wellenfunktion übertragbar.
10.2
Energiespektrum des H-Atoms
Wir wissen aus Kap. 9, dass bei Verwendung von der Symmetrie des Problems angepassten
sphärischen Koordinaten  ( r )   n  m ( r , , ) 
n  (r )
r
Y m (, ) gilt, wobei  n  ( r ) Lösung
der Gleichung, vgl. (9.9)
14
2
 2 d  n     2  (   1) 

 n  ( r )  E  n  ( r ) ,  n  ( r  0)  0
  
2 dr 2
2r 2 
 r
(10.7)
ist. Diese Gleichung beschreibt die eindimensionale Bewegung im effektiven Potenzial
U QM
eff ( r )  
  2  (   1)

,   0.
r
2r 2
(10.8)
Diskrete Energieniveaus erwarten wir im Fall E < 0 (klassische Bewegung finit).
Zur Lösung von Glg. (10.7) führen wir die neue unabhängige Variable  und den E abhängigen Parameter  ein
1
 8E  2
 :   2  r ,
  
 :
  8E
 e2
8 
 
 
.
4E

16E 
2 E 4  0 
(10.9)
Das führt über (Strich für Ableitungen nach 
F

'   F ' 
2




F '  2 F '  2 F  2
F  2
 2
2
e
,

'
'

F
'
'
e

e

e

e

(
F
'
'

F
'

)e

2
2
4
4

auf die Gleichung
(  ) 
 1
(   1)
(  )     (  )  0 ,
2

 4
(10.10)
die wir analog zur Vorgehensweise im Fall des harmonischen Oszillators mit der Sommerfeld´schen Polynommethode lösen:



1
1) Asymptote für    :  '' (  )  (  )  0  (  ) ~ e 2 ( Lösung e 2 nicht normierbar)
4
2) Abspaltung der Asymptote: (  )  F(  ) e


2
 F '' F '  (   1)
F
F
  0
2


.

3) Potenzreihenansatz: F(  )   a k  k .
(10.11)
k 1
15
Mit


F ' (  )   k a k  k 1 ,
F '' (  )   k ( k  1) a k  k  2 

k 1


k 1

F
a1 
k 2

a


  a k 1  k 1

k
2

 k 1
k 1

und


 ( k  1)k a
k 1
 k 1 ,
k 1

F 
 a k k
 k 1


folgt

 ( k  1)k a

k 1
 k 1   k a k  k 1   (   1)
k 1
         
k 1

a1
  (   1)


a
k 1
 k 1  
k 1


a
k
 k 1  0
k 1
               
bzw.
  (   1)
a 1  k 1
    ( k  1) k a k 1  k a k   (   1) a k 1   a k   0 .
 k 1
4) Rekursionsformel: Offensichtlich ist der Ansatz (10.11) nur dann Lösung von (10.10),
wenn die Koeffizienten ak der Potenzreihe der Rekursionsformel
a k 1 
k 
a k und a1 = 0, falls   0
k ( k  1)   (   1)
(10.12)
genügen. Aus der Rekursionsformel folgern wir:
(i) Es muss a   0 gelten, denn für a   0 würden a 1 , a   2 usw. divergieren und die
Wellenfunktion wäre nicht normierbar. Also ist a  1  a  2  ...  a 0  0 .
(ii) Für große k ist a k 1 
1
1
a k also a k 
. Damit wüchse F( ) asymptotisch wie e  ,
k
k!

woraus sich (  ) ~ e 2 ergäbe, d.h., die Normierungsbedingung erneut verletzt wäre.
Also muss die Potenzreihe bei einem bestimmten k >  abbrechen. Für diese natürliche Zahl
k  n muss gelten
k n  .
(10.13)
16
Für die Wellenfunktion bedeutet (10.13)
F( )  Fn ( ) 
n
a
k   1
k
 k mit   n   und Rekursionsformel (10.12)
(10.14)
Außerdem stellt die Forderung k = n unter Berücksichtigung der Definition von  in (10.9)
eine Quantisierungsbedingung für die Energie des Elektrons dar
En()  
e 4
1
, n    1,   2,... und   0,1, 2, ...
2 2
2( 40 )  n 2
(10.15)
 diskretes Energiespektrum. Die Energieeigenwerte/Energieniveaus hängen nur von der 
Hauptquantenzahl n ab. Zu vorgegebenem n sind die Bahndrehimpulsquantenzahlen 
Nebenquantenzahlen   0,1, 2, ..., n  1 möglich. Jedem  -Wert entsprechen 2  + 1
verschiedene Werte der  Magnetquantenzahl m. Daraus ergibt sich eine n2 – fache
Entartung der Energieniveaus im H-Atom, denn (arithmetische Reihe)
n 1
 (2  1)  n
0
b0  b n 1
1  2( n  1)  1
n
 n2 .
2
2
(10.16)
Unter Berücksichtigung der Spin-Entartung des Elektrons (s = ½) von 2s +1 = 2 ist jedes
Energieniveau g n  2n 2 - fach entartet.
Das Energiespektrum (10.15) ist auch für andere zentralsymmetrische "Ein-Elektronenprobleme" gültig, wenn die Protonenladung e durch die Kernladung Ze ersetzt wird. Die
Kernladungszahl ist Z H  1 für Wasserstoff, Z He   2 für das Heliumion, Z Li2   3 für das
zweifach ionisierte Lithium-Atom usw.
17