Repetitorium zur Einführung in die Quantenmechanik und Statistik

Prof. Dr. E. Epelbaum
Montag, 29. Februar 2016
Repetitorium zur
Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
Blatt 1
1.1
Erwartungswerte
Die stationäre Wellenfunktion eines eindimensionalen quantenmechanischen Systems sei gegeben durch
α 2
mit α > 0
ψ(x) = Ae− 2 x
Um ihrer Interpretation als Wahrscheinlichkeitsdichte
für den Aufenthaltsort gerecht zu werden,
R∞
2
muss für die Wellenfunktion −∞ |ψ(x)| dx = 1 gelten.
(a) Berechnen Sie die Normierungskonstante
A.
r
R ∞ −at2
π
, a>0
Hinweis: −∞ e
dt =
a
(b) Berechnen Sie die Erwartungswerte von Ort hψ|x|ψi und Impuls hψ|p|ψi sowie die ihrer
Quadrate hψ|x2 |ψi und hψ|p2 |ψi.
(c) Überprüfen Sie die Gültigkeit der heisenberg’sche Unschärferelation für diese konkrete
Wellenfunktion.
p
Erinnerung: Heisenberg’sche Unschärferelation: ∆A∆B ≥ 21 |hi[A, B]i|, ∆A = hA2 i − hAi2
1.2
Zwei-Niveau-System
In einem quantenmechanischen System, das nur aus zwei Zuständen |1i := (1, 0)T und |2i :=
(0, 1)T besteht, sei der Hamilton-Operator durch die Matrix
1 a
Ĥ = ~
a 1
gegeben, wobei a eine reelle Zahl ist.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Hamiltonoperators.
(b) Das System sei im Zustand |1i. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten werden die beiden
Energieeigenwerte gemessen und in welchem Zustand befindet sich das System danach
jeweils?
(c) Das System sei zum Zeitpunkt t = 0 wieder im Zustand |ψ(0)i = |1i. Berechnen Sie die
Zeitevolution |ψ(t)i des Zustandes.
i
Hinweis: |ψ(t)i = e− ~ Ht |ψ(0)i
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (t), dass sich zu einem beliebigen Zeitpunkt das
System im Zustand |2i befindet.
1
1.3
Ehrenfest-Theorem
Leiten Sie das Ehrenfest-Theorem her:
d
i
∂ Ô
hψ|Ô|ψi = hψ|[Ĥ, Ô]|ψi + hψ|
|ψi,
dt
~
∂t
wobei die zeitliche Änderung von |ψi durch die Schrödinger-Gleichung gegeben ist.
2