2.¨Ubung - Universität des Saarlandes

Theoretische Physik III
Theoretische Physik
Universität des Saarlandes
2. Übung
SS 2012
Prof. Dr. Heiko Rieger
Ihre Lösung ist bis zum 02.05.2012 um 14 Uhr in das Postfach von Prof. Rieger
im Erdgeschoß von Gebäude E2 6 einzuwerfen.
5.
[6 Punkte] Orthonormierte Funktionen
Im Raum L2 ([a, b]) der komplexwertigen, im reellen Intervall a ≤ x ≤ b quadratisch integrierbaren
Funktionen ist das Skalarprodukt definiert als
Z
hf |gi =
b
dx f ∗ (x)g(x),
∀f, g ∈ L2 ([a, b]),
(1)
a
wobei ∗“ für die komplexe Konjugation steht. Die Funktionen f1 , f2 , ..., fn heißen orthonormiert,
”
falls gilt:
(
0 falls i 6= j
hfi |fj i =
.
1 falls i = j
3
(a) Die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators eines Teilchens im unendlich tiefen Potentialtopf
mit den Randbedingungen ψn (x = 0) = ψn (x = L) = 0 sind gegeben durch:
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
mit n = 1, 2, ...
L
L
Zeigen sie, dass die Funktionen ψn orthonormiert sind.
3
(b) Sei Ψ(x) eine allgemeine Funktion, die auf dem Intervall [0, L] definiert ist und die an den
Rändern die Funktionswerte Null besitzt (Ψ(x = 0) = Ψ(x = L) = 0). Stellen Sie die Funktion
Ψ(x) als (unendliche) Linearkombination der Funktionen ψn dar. Wie lauten die entsprechenden
Entwicklungskoeffizienten?
6.
[14 Punkte] Rand- und Eigenwertproblem
Auch hier verwenden wir wieder das Skalarprodukt aus Aufgabe 5 im Raum L2 ([−`, `]). Wir betrachten einem Unterraum F derjenigen Funktionen, deren erste und zweite Ableitungen ebenfalls in L2 ([−`, `]) liegen und deren Funktionswerte auf dem Rand von [−`, `] verschwinden, also
ˆ ≡ d22 mit dem Definitionsbereich F.
f (−`) = f (`) = 0. Gegeben sei der lineare Operator ∆
dx
3
ˆ in F hermitesch ist, d.h. hg|∆
ˆ f i = h∆
ˆ g|f i, ∀g, f ∈ F. Ist der Differential(a) Zeigen Sie, dass ∆
d
operator D̂ ≡ dx in F auch hermitesch?
4
ˆ (beachten Sie das Vorzeichen). Es handelt sich
(b) Betrachten wir das Eigenwertproblem von −∆
also um die Differentialgleichung
ˆ u = λ u,
−∆
3
4
mit u ∈ F und λ ∈ R.
(2)
Unterscheiden Sie drei Fälle: λ = 0, λ = −k 2 < 0 und λ = k 2 > 0. Bestimmen Sie die
Eigenwerte und die zugehörigen normierten Eigenfunktionen für die Fälle, in denen eine nichtˆ zu dem Eigenwert λn
triviale Lösung u(x) 6= 0 der Gl. (2) existiert. Die Eigenfunktion von −∆
(n = 1, 2, · · · ) wird als un (x) bezeichnet.
ˆ orthogonal sind, d.h. hun |um i = 0 für n 6= m.
(c) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen von −∆
Skizzieren Sie die Eigenfunktionen zu den drei kleinsten Eigenwerten.
(d) Entwickeln Sie f (x) = x(l − |x|) für −l ≤ x ≤ l in eine Reihe (die Fourier-Reihe) nach den
ˆ Benutzen Sie die Orthonormalität der Eigenfunktionen, um die
Eigenfunktionen un (x) von −∆.
Entwicklungskoeffizienten zu bestimmen, wobei alle auftretenden Integrale ohne Nutzung von
Integraltabellen oder Computern ausgewertet werden sollen!
Info: http://www.uni-saarland.de/fak7/rieger/homepage/teaching.html
Dipl. Phys. Astrid Niederle, E2.6 Zi.4.24
[email protected]
1/2
Dipl. Phys. Christian Thome, E2.6 Zi.1.04
[email protected]
7.
[6 Punkte] Impulsoperator im Ortsraum
Der Impulsoperator ist in der Ortsdarstellung gegeben durch p̂ = ~i ∇.
3
(a) Zeigen Sie, dass für den Kommutator der Orts- und Impulsoperatoren:
[r̂j , p̂k ] = i~δjk 1̂
gilt, wobei r̂j (p̂k ) die x-, y- oder z-Komponente von r̂ (p̂) ist. Zeigen Sie ferner die Vertauschungsregel
[p̂j , p̂k ] = 0.
Hinweis:
Zur Berechnung der Kommutatoren sollten Sie diese immer auf eine Funktion f anwenden,
berechnen Sie also [Â, B̂]f !
3
(b) Bestimmen Sie die folgenden Kommutatoren:
[x̂, p̂2x ]
und
[x̂2 , p̂2x ]
(p̂x : die x-Komponente von p̂; x̂: die x-Komponente von r̂)
Hinweis:
Verifizieren Sie zuerst die nützliche Kommutatorrelation [Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ] für drei
beliebige Operatoren Â, B̂ und Ĉ.
8.
4
[14 Punkte] Zeitentwicklung des Erwartungswerts einer Observable
(a) Der Erwartungswert einer Observable  im Zustand ψ wird gegeben durch
Z
hÂi = hψ|Â ψi = d3 r ψ ∗ (r, t)Âψ(r, t).
Zeigen Sie unter Benutzung der Schrödinger-Gleichung, dass die folgende Bewegungsgleichung
gilt:
+
*
E
d
iD
∂ Â
hÂi =
,
(3)
[Ĥ, Â] +
dt
~
∂t
wobei Ĥ der Hamilton-Operator ist.
5
(b) Mit Hilfe der Bewegungsgleichung (3) untersuchen wir die Zeitentwicklung der Orts- und Impulsunschärfen eines freien Teilchens der Masse m in einer Dimension. Zeigen Sie, dass die Relationen
2 1
(∆p)20 2
2
2
(∆x)t = (∆x)0 +
hp̂x̂ + x̂p̂i0 − hx̂i0 hp̂i0 t +
t
(4)
m 2
m2
und
(∆p)2t = (∆p)20
(5)
gelten, wobei der Index t für einen Zeitpunkt t > 0 und der Index 0 für den Zeitpunkt t = 0
stehen.
5
(c) Wenden Sie Gl. (4) und Gl. (5) auf ein Teilchen an, das zum Zeitpunkt t = 0 durch das Wellenpaket ψ(x) = √√1
x2
πd
e− 2d2 +ik0 x beschrieben wird. Wie entwickelt sich die Breite des Wellenpakets?
Alle auftretenden Integrale sollen ohne Nutzung von Integraltabellen oder Computern ausgewertet werden!
Info: http://www.uni-saarland.de/fak7/rieger/homepage/teaching.html
Dipl. Phys. Astrid Niederle, E2.6 Zi.4.24
[email protected]
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Dipl. Phys. Christian Thome, E2.6 Zi.1.04
[email protected]