Blatt 6 - Universität des Saarlandes

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Theoretische Physik III
Quantenmechanik
SS 2016
6. Übung
Theoretische Physik (FR 7.1)
Universität des Saarlandes
Prof. Dr. Heiko Rieger
Ihre Lösung ist bis zum 01.06.2016 um 12 Uhr in das Postfach
von Prof. Dr. Heiko Rieger im Erdgeschoss von Gebäude E2 6 einzuwerfen.
1.
Gegeben sei ein System, das nur gebundene Zustände hat. Ein Teilchen befinde sich in einem beliebigen Zustand, der durch den normierten Vektor |ψi beschrieben wird. Die Eigenzustände des
Operator x̂ seien |xi, diejenigen des Hamiltonoperators Ĥ zum Eigenwert En seien |ni. Zeigen Sie
unter Verwendung von ψ(n) := hn|ψi, ψ(x) := hx|ψi und xmn := hm|x̂|ni = die folgenden Relationen:
P∞
(a) hĤi = n=0 En |ψ(n)|2
R∞
(b) hx̂i = −∞ dx x |ψ(x)|2
P∞
(c) hx̂i = m,n=0 ψ ∗ (m) ψ(n) xmn
P∞
~2
2
(d)
m=0 (Em − En )|xmn | = 2M , M : Teilchenmasse (Thomas-Reiche-Kuhn Summenregel)
P∞
(e) x̂ = m,n=0 xmn |mi hn|
P∞
(f) Ĥ = n=0 En |ni hn|
1
1
1
2
1
1
(g) Geben Sie eine Interpretation der folgenden Skalarprodukte: hn|ψi, hx|ψi, hx|ni, hn|xi.
1
2.
1
[8 Punkte] Bra-Ket-Notation
[13 Punkte] Operatoralgebra
(a) Fermioperatoren
Die Operatoren ĉ und ĉ† erfüllen die Antikommutatorrelation {ĉ, ĉ† } := ĉĉ† + ĉ† ĉ = 1 sowie
2
ĉ2 = ĉ† = 0.
i. Zeigen Sie, dass der Teilchenzahloperator N̂ := ĉ† ĉ nur die Eigenwerte 1 und 0 haben kann.
2
ii. Nehmen Sie die Existenz eines normierten Eigenzustandes |0i von N̂ mit Eigenwert 0 an
und konstruieren sie einen normierten Eigenzustand |1i von N̂ mit Eigenwert 1. Zeigen Sie,
dass sich |0i mithilfe von |1i darstellen lässt und geben Sie die Darstellung explizit an.
2
iii. Berechnen Sie die Matrixelemente hn|ĉ|n0 i und hn|ĉ† |n0 i (mit n, n0 = 0, 1) und überprüfen
Sie, dass diese Matrizen die richtige Algebra erfüllen.
2
(b) Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
Seien  und B̂ lineare Operatoren und λ ∈ C. Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
i.
λ2
eλ(Â+B̂) = eλ eλB̂ e− 2 [Â,B̂]
unter der Voraussetzung, dass [[Â, B̂], Â] = [[Â, B̂], B̂] = 0.
2
ii. Für die Operatorfunktion f (B̂) und ihre Ableitung f 0 (B̂) nach B̂ gilt
[Â, f (B̂)] = [Â, B̂]f 0 (B̂) ,
falls [[Â, B̂], Â] = [[Â, B̂], B̂] = 0.
(c) Produkt zweier Operatoren
Die beiden Operatoren F̂ und K̂ werden in einer beliebigen diskreten Basis durch ihre Matrixelemente dargestellt:
X
X
F̂ =
Fn,n0 |ni hn0 | , K̂ =
Km,m0 |mi hm0 | .
n,n0
m,m0
2
i. Zeigen Sie mit dieser Martixdarstellung, dass (F̂ K̂)† = K̂ † F̂ † und bestimmen Sie die
P
Matrixelemente Cn,n0 im Ausdruck [F̂ , K̂] = n,n0 Cn,n0 |ni hn0 |.
2
ii. Sei der Operator F̂ nun hermitesch. Beweisen Sie hF̂ 2 i ≥ 0.
Info: http://www.uni-saarland.de/fak7/rieger/homepage/teaching.html
Dipl. Phys. Benjamin Blaß, E2 6, Zi.1.04.1
[email protected]
Dipl. Phys. Benjamin Bogner, E2 6, Zi.4.27
[email protected]
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3.
[7 Punkte] Spur eines Operators
Die Spur eines Operators  bzgl. eines vollständigen Orthonormalsystems (VONS) |ni i ist definiert
durch:
X
Tr(Â) :=
hn|Â|ni
n
(Die Konvergenz der Reihe sei vorausgesetzt.
Alle folgenden Aussagen sind beweisbar z. B. für
P
Hilbert-Schmidt-Operatoren, für die gilt m,n | hm|Â|ni |2 < ∞.)
2
(a) Zeigen Sie, dass die Spur von  unabhängig von der Wahl des VONS ist.
2
(b) Berechnen Sie Tr([Â, B̂]).
1
(c) Berechnen Sie die Spur von  bzgl. einer Basis von Eigenzuständen von Â.
2
(d) Zeigen Sie, dass Tr(ln(Â)) = ln(det(Â)), wobei det(Â) = det(A) mit Amn := hm|Â|ni.
4.
2
[6 Punkte] Orts-Impuls-Unschärferelation / Wellenpakete minimaler Unschärfe
(a) Für das Skalarprodukt zweier beliebiger Wellenfunktionen ϕ und ψ gilt die
Schwarzsche Ungleichung
hϕ|ϕi hψ|ψi ≥ | hϕ|ψi |2
.
Sie folgt aus der Tatsache, dass die Norm einer Wellenfunktion nicht negativ ist, sodass
hϕ + λψ|ϕ + λψi ≥ 0, ∀λ ∈ C. Leiten Sie die Schwarzsche Ungleichung her und diskutieren Sie,
unter welcher Bedingung Gleichheit erfüllt ist.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Schwarzschen Ungleichung, dass für die Orts- und Impulsunschärfe gilt
2
∆x ∆p ≥
~
2
.
(∗)
(c) Für ein minimales Wellenpaket gilt ∆x ∆p = ~2 . Formulieren Sie die Bedingungen für das
Gleichheitszeichen in der Relation (∗) als eine Differentialgleichung für eine Wellenfunktion, die
hx̂i ≡ x0 und hp̂i ≡ p0 als gegebene Parameter enthält. Bestimmen Sie deren Lösung.
2
5.
[6 Punkte] Zeitentwicklung des Gauß-Pakets / Orts- und Impulsdarstellung
Gegeben sei die Wellenfunktion eines freien Teilchens in einer Dimension mit dem zugehörigem
Hamiltonoperator Ĥ = p̂2 /2m zum Zeitpunkt t = 0:
1
x02
0 p0
ψ(x0 , 0) =
exp
ıx
−
.
1
~
2∆2
(π∆2 ) 4
Bestimmen Sie die Erwartungswerte folgender Operatoren zum Zeitpunkt t = 0:
2
(a)
x̂
2
(b)
p̂
2
(c) {x̂, p̂}
Verifizieren Sie für jeden Fall, dass die Unschärfe minimal ist.
Hinweis:
∞
Z
I(α, β) =
−∞
2
dxe−αx
+βx
r
=
π β 2 /4α
e
α
auch für komplexe α und β, sofern Re(α) > 0.
Info: http://www.uni-saarland.de/fak7/rieger/homepage/teaching.html
Dipl. Phys. Benjamin Blaß, E2 6, Zi.1.04.1
[email protected]
Dipl. Phys. Benjamin Bogner, E2 6, Zi.4.27
[email protected]
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