14.¨Ubung - Universität des Saarlandes
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Theoretische Physik III WS 2008/2009 Theoretische Physik Universität des Saarlandes Prof. Dr. Heiko Rieger Dr. Yu-Cheng Lin 14. Übung (Abgabe: bis zum 03.Feb.2009, 12:00 Uhr im Postfach von Prof. Rieger) (Klausur: Donnerstag, 19.Feb.2009, 9:15 - 13:00 Uhr ) 41. [9 Punkte] Übergang eines Atoms/Auswahlregeln (a) Ein Wasserstoffatom im Grundzustand befindet sich in einem elektrischen Feld E = (0, 0, E(t)) mit 3 −t2 /τ 2 E(t) = E0 . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Atom nach einer langen Zeit (t τ ) im Zustand 2p zu finden. 4 (b) Die Amplitude für die Ausstrahlung elektrischer Dipolstrahlung beim Übergang zwischen zwei Zuständen mit den Drehimpulsquantenzahlen `, m und `0 , m0 enthält die Matrixelemente h`0 , m0 |x̂|`, mi (x̂: Ortsoperator). Elektrische Dipolübergänge sind nur dann möglich, wenn diese Matrixelemente endlich sind, d.h. wenn die Auswahlregeln erfüllt sind. Zeigen Sie die Auswahlregeln: `0 − ` = ±1 und m0 − m = 0, ±1 . (c) Bestimmen Sie die Auswahlregeln für die Matrixelemente hn0 , `0 , m0 |x̂ ŷ|n, `, mi, wobei |n, `, mi ein Energieeigenzusand des Wasserstoffatoms bei Vernachlässigung des Spins ist. 2 Hinweis: ˆ ˜ Verwenden Sie den Doppelkommutator L2 , [L2 , x] (und andere Kommutatoren), oder den Zusammenhang zwischen x, y, z und den Kugelfunktionen. 42. [10 Punkte] Goldene Regel/Übergänge im Kontinuum Zur Zeit t → −∞ befindet sich ein freies Teilchen im Impuls-Eigenzustand |ki (zum Eigenwert p = ~k). Ein Potential wird langsam eingeschaltet und man setzt formal Ve (x, t) = V (x) eηt , wobei V (x) zeitlich konstant und η > 0 infinitesimal ist. 5 (a) Zeigen Sie mit Hilfe der Störungstheorie erster Ordnung, dass für η → 0 die Übergangsrate (die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) von |ki in einen anderen Impuls-Eigenzustand |k0 i der Goldenen Regel von Fermi entspricht: Γk→k0 = 2π 0 |hk |V |ki|2 δ(Ek − Ek0 ), ~ hier Ek = ~2 k 2 /2m und Ek0 = ~2 k 02 /2m. Hinweis: 5 Die Diracsche δ-Funktion kann durch δ(x) = limε→0 1 ε π x2 +ε2 dargestellt werden. (b) Angenommen, dass das Teilchen in einem Kubus mit der Kantenlänge L und periodischen Randbedingungen eigenschlossen ist (Box-Normierung). Die Länge L sei viel größer als die Reichweite des Störpotentials. Zeigen Sie, dass die Übergangsrate in den Zustand |k0 i (mit |k| = |k0 |) in einem Raumwinkelelement der Größe dΩ gegeben ist durch 3 2π 0 L m|k| dΓk→k0 ∈dΩ = |hk |V |ki|2 dΩ . ~ 2π ~2 Bemerkung: Die Box-Normierung ist eine Alternative zur δ-Funktion-Normierung für ebene Wellen. Periodischen Randbedingungen, d.h. hx + L|kx i = hx|kx i, hy + L|kx i = hy|ky i, und hz + L|kz i = hz|kz i, führen zu diskreten Wellenzahlen k. Dasselbe bewirkt die Randbedingung, dass an den Wänden der Box die Wellenfunktionen verschwinden müssen. Info: www.uni-saarland.de/fak7/rieger/HOMEPAGE/LECTURES/WS2008 2009.htm 1/2 Zoltán Zimborás, E2.6 Zi.4.28 Martin Peglow, E2.6 Zi.4.23 Yu-cheng Lin, E2.6 Zi.4.25 [email protected] [email protected] [email protected] 43. 5 [9 Punkte] Streuung Berechnen Sie in erster Bornscher Näherung die Streuamplitude und den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ für die Streuung von Teilchen der Masse m (a) an einem abgeschirmten Coulomb-Potential V (r) = V0 e−ar ar mit V0 (= const.) > 0 und a(= const.) > 0. 4 (b) an einem dreidimensionalen Potentialtopf −V0 = const. V (r) = 0 für r < R, sonst. mit V0 > 0. 44. [7 Punkte] Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Wiederholung) (a) (Präsenzaufgabe) Leiten Sie eine Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) aus der Schrödinger-Gleichung her. 3 (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x, t) für ein Teilchen, dessen Wellenfunktion sich in der Gestalt p ψ(x, t) = ρ(x, t)eiS(x,t)/~ mit einer reellen Phasenfunktion S(x, t) schreiben lässt. 4 (c) Berechnen Sie j(x, t) in dem Spezialfall, wenn ψ(x, t) ein Gauss-Paket ist: h i−3/2 (x − p0 t/m)2 ip0 p0 t ψ(x, t) = π 1/2 ∆ + α exp − 2 exp · x− 2∆ (1 + α/∆) ~ 2m mit ∆ ∈ R und α = i~t m∆ . Info: www.uni-saarland.de/fak7/rieger/HOMEPAGE/LECTURES/WS2008 2009.htm 2/2 Zoltán Zimborás, E2.6 Zi.4.28 Martin Peglow, E2.6 Zi.4.23 Yu-cheng Lin, E2.6 Zi.4.25 [email protected] [email protected] [email protected]
