5.¨Ubung - Universität des Saarlandes

Theoretische Physik III
WS 2008/2009
Theoretische Physik
Universität des Saarlandes
5. Übung
Prof. Dr. Heiko Rieger
Dr. Yu-Cheng Lin
(Abgabe: bis zum 25.Nov.2008, 12:00 Uhr im Postfach von Prof. Rieger)
(Klausur: Donnerstag, 19.Feb.2009, 9:15 - 13:00 Uhr )
15.
[10 Punkte] Eindimensionaler harmonischer Oszillator
Der Hamiltonoperator des quantenmechanischen harmonischen Oszillators ist gegeben durch
Ĥ =
p̂2
1
+ mω 2 x̂2 .
2m 2
(5.1)
Dabei handelt es sich um ein sehr bedeutendes Modelsystem. Es wird häufig genutzt um analytische
Potential in der Umgebung ihrer Minima zu approximieren (vorausgesetzt die zweite Ableitung verschwindet dort nicht). In der Vorlesung wurden folgende Leiteroperatoren definiert:
mωx̂ − ip̂
mωx̂ + ip̂
, â† := √
.
â := √
2m~ω
2m~ω
Der Hamiltonoperator kann in sehr einfacher Form durch die Operatoren â und â† ausgedrückt werden:
Ĥ = ~ω(â† â + 12 ). Die Eigenwerte des Hamiltonian sind En = ~ω(n + 12 ), mit n ∈ N0 .
3
(a) Was sind die Erwartungswerte des Orts- und Impulsoperators im Energieeigenzustand |ni mit Eigenwert En ?
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(b) Berechnen Sie die Standardabweichungen von x̂ und p̂ im Energieeigenzustand |ni. Verifizieren Sie
mit diesen Werten die Unschärferelation.
16.
[20 Punkte] Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators
Betrachtet wird ein Teilchen der Masse m im harmonischen Potential, beschrieben durch den Hamiltonoperator (5.1). Die Eigenzustände des Vernichtungsoperators â werden auch als kohärente Zustände
bezeichnet:
â |zi = z |zi ,
(5.2)
mit z ∈ C.
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(a) Zeigen Sie, dass
0 †
|z 0 i = N ez â |0i
ein Eigenzustand von â mit Eigenwert z 0 ∈ C ist, wobei |0i der Energiegrundzustand ist.
Hinweis:
Nutze Aufgabe 14 der 4. Übung.
3
(b) Schreibe |zi als normierte Superposition der Energieeigenzustände |ni.
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(c) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit des Messens von |ni in |zi einer Poissonverteilung genügt.
Was ist der wahrscheinlichste Wert für n?
3
(d) Bestimmen Sie die Unschärfe von x̂ und p̂ für den Zustand |zi. Zeigen Sie, dass es sich dabei um
die minimal mögliche Unschärfe von x̂ und p̂ handelt.
4
(e) Zur Zeit t = 0 sei das Teilchen im kohärenten Zustand |z0 i. Geben Sie den Zustand des Teilchens
für t > 0 an. Zeigen Sie, dass sich das Teilchen ∀t > 0 in einem Zustand der Form (5.2) mit z 6= z0
befindet und damit weiterhin Eigenzustand zu â ist. Bestimmen Sie den Eigenwert z für t > 0.
4
(f) Beschreiben Sie unter Ausnutzung der bisherigen Ergebnisse wie sich die Erwartungswerte hx̂i und
hp̂i mit der Zeit in einem kohärenten Zustand ändern. Zeigen Sie weiter, dass kohärente Zustände
zu allen Zeiten die minimale x̂-p̂-Unschärferelation erfüllen.
Info: www.uni-saarland.de/fak7/rieger/HOMEPAGE/LECTURES/WS2008 2009.htm
Zoltán Zimborás, E2.6 Zi.4.28, [email protected]
Yu-cheng Lin, E2.6 Zi.4.25, [email protected]
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17.
[10 Punkte] Unendlichtiefe Potentialmulde
Gegeben sei ein Teilchen der Masse m, welches sich in folgendem Potenial befindet:
0
falls
−a ≤ x ≤ a
V (x) =
∞
sonst
2
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert von p̂k mit k ∈ N im n-ten Energieeigenzustand des Hamiltonoperators.
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(b) Das Teilchen befinde sich in einer normierten Linearkombination zweier verschiedener, normierter
Energieeigenzustände |u` i und |un i, also |ψi = α |u` i + β |un i mit |α|2 + |β|2 = 1.
Wie verhält sich der Erwartungswert von x̂k (k ∈ N) während der Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion? Steigt, fällt oder oszilliert er? Zerlege die Tripel (k, `, n) disjunkt bezüglich dieser Unterscheidung.
Info: www.uni-saarland.de/fak7/rieger/HOMEPAGE/LECTURES/WS2008 2009.htm
Zoltán Zimborás, E2.6 Zi.4.28, [email protected]
Yu-cheng Lin, E2.6 Zi.4.25, [email protected]
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