Ubungen zur Quantenmechanik

Übungen zur Quantenmechanik
Theoretische Physik III
SS 2017
Blatt 11
A. Alvermann & H. Fehske
Abgabe: Dienstag, 27.06.17 vor der Vorlesung
Aufgabe 30
Eigenzustände des harmonischen Oszillators
Berechnen Sie die Orts- und Impulsunschärfe ∆x, ∆p in den Eigenzuständen |ni des harmonischen Oszillators!
Verwenden Sie dazu die Darstellung von x, p mittels Leiteroperatoren b(†) .
Aufgabe 31
Kohärente Zustände
In der Vorlesung wurde der harmonische Oszillator durch Einführen der zueinander adjungierten Leiteroperatoren b, b† mit [b, b† ] = 1 algebraisch behandelt. Hier sollen die Eigenzustände
|φβ i des Operators b zum Eigenwert β untersucht werden, b|φβ i = β|φβ i. Diese Zustände
nennt man auch kohärente Zustände.
(a) Bestimmen Sie Eigenwerte und (normierte!) Eigenvektoren von b aus einer Entwicklung
|φβ i =
∞
X
cn (β)|ni
n=0
nach Eigenzuständen |ni =
(b† )n
√ |0i
n!
des harmonischen Oszillators.
(b) Bestimmen Sie Erwartungswerte und Varianzen des Ortes x, Impulses p und Energie E
im Zustand |φβ i.
(c) Berechnen Sie hφα |φβ i und diskutieren Sie das Ergebnis.
(d) Zur Zeit t = 0 befinde sich der Oszillator im Zustand |ψ(t = 0)i = |φβ (t = 0)i. Bestimmen Sie die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte des Orts- und Impulsoperators,
indem Sie zunächst nachweisen, dass |ψ(t)i ∝ |φβ(t) i mit entsprechendem β(t) ist.
Aufgabe 32
Drehimpuls im Magnetfeld
~ ist H = µB
~ · J,
~ mit den
Der Hamiltonoperator eines magnetischen Dipols µ im Magnetfeld B
T
~
quantenmechanischen Drehimpulsoperatoren J = (Jx , Jy , Jz ) .
(a) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Drehimpulses

hJx i



~ = hJ i
hJi
 y 
hJz i
die (klassische!) Bewegungsgleichung
~ = µB
~ × hJi
~
∂t hJi
erfüllt.
~ an.
(b) Geben Sie die Eigenwerte von H für vorgegebene Spinlänge |J|